大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
解説
$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})$
を展開すると
$$
\begin{align}
19^{2}-(5\sqrt{13})^{2}&=361-25\cdot 13\\
&=361-325\\
&=36
\end{align}
$$
となる。
解答ア：３, イ：６
よって、
$0 \lt \SORA{(19+5\sqrt{13})}\AKA{(19-5\sqrt{13})}$式Ａ
であることが分かる。
式Ａの青い部分は正。
青い部分と赤い部分をかけて正なので、赤い部分も正だ。
なので、
$0 \lt 19-5\sqrt{13}$
である。
ここで
$\left\{\begin{array}{l}
\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\\
\beta=\sqrt{19-5\sqrt{13}}
\end{array}\right.$
とおく。
このとき、
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\sqrt{19+5\sqrt{13}}^{2}+\sqrt{19-5\sqrt{13}}^{2}$
途中式
$$
\begin{align}
\phantom{$\alpha^{2}+\beta^{2}}&=19+5\sqrt{13}+19-5\sqrt{13}\\
&=19+19
\end{align}
$$
$\alpha\beta=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\cdot\sqrt{19-5\sqrt{13}}$
途中式
$\phantom{\alpha\beta}=\sqrt{(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13)}}$
アイより
$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=36$
なので、この式は
$\alpha\beta=\sqrt{36}$
$\phantom{\alpha\beta}=6$式Ｃ
となる。
解答ウ：３, エ：８, オ：６
式Ｂ，式Ｃを使って、$(\alpha + \beta)^{2}$，$(\alpha - \beta)^{2}$を求める。
$(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$$
\begin{align}
(\alpha+\beta)^{2}&=38+2\cdot 6\\
&=50 \class{tex_formula}{式Ｄ}
\end{align}
$$
$(\alpha-\beta)^{2}=\alpha^{2}-2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$$
\begin{align}
(\alpha-\beta)^{2}&=38-2\cdot 6\\
&=26 \class{tex_formula}{式Ｅ}
\end{align}
$$
とかける。
解答カ：５, キ：０, ク：２, ケ：６
さらに、式Ｄ，式Ｅを使って、$\alpha$，$\beta$を求める。
式Ｄの両辺の平方根をとると
$$
\begin{align}
\alpha+\beta&=\pm\sqrt{50}\\
&=\pm 5\sqrt{2}
\end{align}
$$
だけど、$ 0 \lt \alpha+\beta$なので、
$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$式Ｄ'
式Ｅの両辺の平方根をとると
$\alpha-\beta=\pm\sqrt{26}$
だけど、$\beta \lt \alpha$より$ 0 \lt \alpha-\beta$なので、
$\alpha-\beta=\sqrt{26}$式Ｅ'
である。
式Ｄ'と式Ｅ'を辺々たすと、
| $\alpha$ | $+\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}$ | |
| $+)$ | $\alpha$ | $-\beta$ | $=$ | $\sqrt{26}$ |
| $ 2\alpha$ | $=$ | $5\sqrt{2}+\sqrt{26}$ |
となるので、
$\alpha=\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。
また、式Ｄ'から式Ｅ'を辺々引くと、
| $\alpha$ | $+\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}$ | |
| $-)$ | $\alpha$ | $-\beta$ | $=$ | $\sqrt{26}$ |
| $ 2\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}-\sqrt{26}$ |
となるので、
$\beta=\dfrac{5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。
解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２
別解
コサシスセの部分は、
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
の２重根号をはずして求めることもできる。
２重根号の計算の復習をすると、
復習
$0 \lt b \lt a$のとき、
$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$
だった。
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
を復習の形にしよう。
つまり、
$\sqrt{13}$の係数の$5$を$2$にする。
まず、邪魔な$5$を根号の中に入れる。
$$
\begin{align}
\alpha&=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\\
&=\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}} \class{tex_formula}{式Ｆ}
\end{align}
$$
さらに、この式の右辺に$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけると。
$$
\begin{align}
\alpha&=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}\\
&=\dfrac{\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}} \class{tex_formula}{式Ｇ}
\end{align}
$$
となる。
この分子の２重根号を、復習の考え方を使って計算する。
$\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
とおくと、復習より
$\left\{\begin{array}{l}
a+b=38\TF{式Ｈ1}\\
ab=5^{2}\cdot 13\TF{式Ｈ2}
\end{array}\right.$
とかける。
$b \lt a$の範囲で考えると、式Ｈ2を満たす自然数$a$，$b$の組は、
$(a,b)=(5^{2}\cdot 13,1)$，$(5\cdot 13,5)$，$(5^{2},13)$
の３通り。
このうち、式Ｈ1にあてはまるのは
$(a,b)=(5^{2},13)$
だ。
以上より、式Ｇは
$\alpha=\dfrac{\sqrt{25}+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
途中式
$\phantom{\alpha}=\dfrac{5+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
分母を有理化して、
となる。
解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２
アドバイス
式Ｆの段階で、２重根号の中を展開して
$\alpha=\sqrt{19+\sqrt{325}}$
としてしまうと、かけて$325$になる$a$，$b$を見つけるはめになって大変だ。
「とりあえず展開」は絶対にやめよう。
アドバイス
上の解説では、式Ｆの右辺に$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけた。
必然的に分母は$\sqrt{2}$になるから、あとで有理化しないといけない。
それを見越して、式Ｆの右辺に最初から$\dfrac{2}{2}$をかけるという方法もある。
この場合、式Ｆ以降は次のような計算になる。
式Ｆの右辺に$\dfrac{2}{2}$をかけて、
$$
\begin{align}
\alpha&=\dfrac{2\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2} \class{tex_formula}{式Ｉ}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2} \class{tex_formula}{式Ｉ'}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}
\end{align}
$$
以下省略
ポイントは、式Ｉから式Ｉ'の変形で、$2$を$\sqrt{2}^{2}$と考えて、$\sqrt{2}$をひとつだけ根号の中に入れること。
$2$全部を入れてしまうと、式Ｉ'は
$$
\begin{align}
\alpha&=\dfrac{\sqrt{2^{2}\cdot 19+2^{2}\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{76+2\sqrt{2\cdot 5^{2}\cdot 13}}}{2}
\end{align}
$$
より、復習の式に当てはめると
$\left\{\begin{array}{l}
a+b=76\\
ab=2\cdot 5^{2}\cdot 13
\end{array}\right.$
となって、式Ｊを満たす$(a,b)$の組が増えてしまい 計算が面倒になってしまう。