大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説
解説
$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})$
を展開すると
$19^{2}-(5\sqrt{13})^{2}$
より
$361-25\cdot 13$
$=361-325$
$=36$
となる。
解答ア：３, イ：６
よって、
$0 \lt $$(19+5\sqrt{13})$$(19-5\sqrt{13})$式Ａ
とかける。
式Ａの青い部分は正。
青い部分と赤い部分をかけて正なので、赤い部分も正だ。
なので、
$0 \lt 19-5\sqrt{13}$
であることが分かる。
ここで
| $\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$ | |
| $\beta=\sqrt{19-5\sqrt{13}}$ |
とおく。
このとき、
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\sqrt{19+5\sqrt{13}}^{2}+\sqrt{19-5\sqrt{13}}^{2}$
途中式
$=19+5\sqrt{13}+19-5\sqrt{13}$
$=19+19$
$\alpha\beta=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\cdot\sqrt{19-5\sqrt{13}}$
途中式
$\alpha\beta$$=\sqrt{(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13)}}$
アイより
$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=36$
なので、この式は
$\alpha\beta=\sqrt{36}$
$\alpha\beta$$=6$式Ｃ
となる。
解答ウ：３, エ：８, オ：６
式Ｂ，式Ｃを使って、$(\alpha + \beta)^{2}$，$(\alpha - \beta)^{2}$を求める。
$(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$(\alpha+\beta)^{2}=38+2\cdot 6$
$=50$式Ｄ
$(\alpha-\beta)^{2}=\alpha^{2}-2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式Ｂ，式Ｃを代入すると、
$(\alpha-\beta)^{2}=38-2\cdot 6$
$=26$式Ｅ
とかける。
解答カ：５, キ：０, ク：２, ケ：６
さらに、式Ｄ，式Ｅを使って、$\alpha$，$\beta$を求める。
式Ｄの両辺の平方根をとると
$\alpha+\beta=\pm\sqrt{50}$
$\alpha+\beta$$=\pm 5\sqrt{2}$
だけど、$ 0 \lt \alpha+\beta$なので、
$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$式Ｄ'
である。
式Ｅの両辺の平方根をとると
$\alpha-\beta=\pm\sqrt{26}$
だけど、$\beta \lt \alpha$より$ 0 \lt \alpha-\beta$なので、
$\alpha-\beta=\sqrt{26}$式Ｅ'
である。
式Ｄ'と式Ｅ'を辺々たすと、
| $\alpha$ | $+\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}$ | |
| $+)$ | $\alpha$ | $-\beta$ | $=$ | $\sqrt{26}$ |
| $ 2\alpha$ | $=$ | $5\sqrt{2}+\sqrt{26}$ |
となるので、
$\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。
また、式Ｄ'から式Ｅ'を辺々引くと、
| $\alpha$ | $+\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}$ | |
| $-)$ | $\alpha$ | $-\beta$ | $=$ | $\sqrt{26}$ |
| $ 2\beta$ | $=$ | $5\sqrt{2}-\sqrt{26}$ |
となるので、
$\displaystyle \beta=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。
解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２
別解
コサシスセの部分は、
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
の２重根号をはずして求めることもできる。
２重根号の計算の復習をすると、
復習
$0 \lt b \lt a$のとき、
$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$
だった。
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
を復習の形にしよう。
つまり、
$\sqrt{13}$の係数の$5$を$2$にする。
まず、邪魔な$5$を根号の中に入れる。
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
$\alpha$$=\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}$式Ｆ
さらに、この式の右辺に$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけると。
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$式Ｇ
となる。
この分子の２重根号を、復習の考え方を使って計算する。
$\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
とおくと、復習より
| $a+b=38$式Ｈ1 | |
| $ab=5^{2}\cdot 13$式Ｈ2 |
とかける。
$b \lt a$の範囲で考えると、式Ｈ2を満たす自然数$a$，$b$の組は、
$(a,b)=(5^{2}\cdot 13,1)$，$(5\cdot 13,5)$，$(5^{2},13)$
の３通り。
このうち、式Ｈ1にあてはまるのは
$(a,b)=(5^{2},13)$
だ。
以上より、式Ｇは
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{25}+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
途中式
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{5+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
分母を有理化して、
となる。
解答コ：５, サ：２, シ：２, ス：６, セ：２
アドバイス
式Ｆの段階で、２重根号の中を展開して
$\alpha=\sqrt{19+\sqrt{325}}$
としてしまうと、かけて$325$になる$a$，$b$を見つけるはめになって大変だ。
「とりあえず展開」は絶対にやめよう。
アドバイス
上の解説では、式Ｆの右辺に$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけた。
必然的に分母は$\sqrt{2}$になるから、あとで有理化しないといけない。
それを見越して、式Ｆの右辺に最初から$\displaystyle \frac{2}{2}$をかけるという方法もある。
この場合、式Ｆ以降は次のような計算になる。
式Ｆの右辺に$\displaystyle \frac{2}{2}$をかけて、
$\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$式Ｉ
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$式Ｉ'
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$
以下省略
ポイントは、式Ｉから式Ｉ'の変形で、$2$を$\sqrt{2}^{2}$と考えて、$\sqrt{2}$をひとつだけ根号の中に入れること。
$2$全部を入れてしまうと、式Ｉ'は
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2^{2}\cdot 19+2^{2}\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{76+2\sqrt{2\cdot 5^{2}\cdot 13}}}{2}$
より、復習の式に当てはめた場合
| $a+b=76$ | |
| $ab=2\cdot 5^{2}\cdot 13$式Ｊ |
となって、式Ｊを満たす$(a,b)$の組が増えてしまい 計算が面倒になってしまう。