大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

解説

$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})$
を展開すると
$19^{2}-(5\sqrt{13})^{2}$
より
$361-25\cdot 13$
$=361-325$
$=36$
となる。

解答ア:3, イ:6

よって、
$0 \lt $$(19+5\sqrt{13})$$(19-5\sqrt{13})$式A
とかける。

式Aの青い部分は正。
青い部分と赤い部分をかけて正なので、赤い部分も正だ。
なので、
$0 \lt 19-5\sqrt{13}$
であることが分かる。


ここで

$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
$\beta=\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

とおく。

このとき、

$\alpha^{2}+\beta^{2}=\sqrt{19+5\sqrt{13}}^{2}+\sqrt{19-5\sqrt{13}}^{2}$
途中式            $=19+5\sqrt{13}+19-5\sqrt{13}$
           $=19+19$
           $=38$式B

$\alpha\beta=\sqrt{19+5\sqrt{13}}\cdot\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

途中式

$\alpha\beta$$=\sqrt{(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13)}}$

アイより
$(19+5\sqrt{13})(19-5\sqrt{13})=36$
なので、この式は
$\alpha\beta=\sqrt{36}$

$\alpha\beta$$=6$式C

となる。

解答ウ:3, エ:8, オ:6


式B,式Cを使って、$(\alpha + \beta)^{2}$,$(\alpha - \beta)^{2}$を求める。

$(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式B,式Cを代入すると、
$(\alpha+\beta)^{2}=38+2\cdot 6$
           $=50$式D

$(\alpha-\beta)^{2}=\alpha^{2}-2\alpha\beta+\beta^{2}$
に式B,式Cを代入すると、
$(\alpha-\beta)^{2}=38-2\cdot 6$
           $=26$式E

とかける。

解答カ:5, キ:0, ク:2, ケ:6


さらに、式D,式Eを使って、$\alpha$,$\beta$を求める。

式Dの両辺の平方根をとると
$\alpha+\beta=\pm\sqrt{50}$
$\alpha+\beta$$=\pm 5\sqrt{2}$
だけど、$ 0 \lt \alpha+\beta$なので、
$\alpha+\beta=5\sqrt{2}$式D'
である。

式Eの両辺の平方根をとると
$\alpha-\beta=\pm\sqrt{26}$
だけど、$\beta \lt \alpha$より$ 0 \lt \alpha-\beta$なので、
$\alpha-\beta=\sqrt{26}$式E'
である。


式D'と式E'を辺々たすと、

$\alpha$ $+\beta$ $=$ $5\sqrt{2}$
$+)$ $\alpha$ $-\beta$ $=$ $\sqrt{26}$
$ 2\alpha$ $=$ $5\sqrt{2}+\sqrt{26}$

となるので、
$\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。

また、式D'から式E'を辺々引くと、

$\alpha$ $+\beta$ $=$ $5\sqrt{2}$
$-)$ $\alpha$ $-\beta$ $=$ $\sqrt{26}$
$ 2\beta$ $=$ $5\sqrt{2}-\sqrt{26}$

となるので、
$\displaystyle \beta=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{26}}{2}$
であることが分かる。

解答コ:5, サ:2, シ:2, ス:6, セ:2

別解

シスの部分は、
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
の2重根号をはずして求めることもできる。

2重根号の計算の復習をすると、

復習

$0 \lt b \lt a$のとき、
$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$

だった。


$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
を復習の形にしよう。
つまり、
$\sqrt{13}$の係数の$5$を$2$にする。

まず、邪魔な$5$を根号の中に入れる。
$\alpha=\sqrt{19+5\sqrt{13}}$
$\alpha$$=\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}$式F

さらに、この式の右辺に$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけると。
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{\sqrt{2}}$式G
となる。

この分子の2重根号を、復習の考え方を使って計算する。
$\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
とおくと、復習より

$a+b=38$式H1
$ab=5^{2}\cdot 13$式H2

とかける。


$b \lt a$の範囲で考えると、式H2を満たす自然数$a$,$b$の組は、
$(a,b)=(5^{2}\cdot 13,1)$,$(5\cdot 13,5)$,$(5^{2},13)$
の3通り。

このうち、式H1にあてはまるのは
$(a,b)=(5^{2},13)$
だ。

以上より、式Gは
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{25}+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
途中式 $\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{5+\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$
分母を有理化して、
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$
となる。

解答コ:5, サ:2, シ:2, ス:6, セ:2

アドバイス

式Fの段階で、2重根号の中を展開して
$\alpha=\sqrt{19+\sqrt{325}}$
としてしまうと、かけて$325$になる$a$,$b$を見つけるはめになって大変だ。
「とりあえず展開」は絶対にやめよう

アドバイス

上の解説では、式Fの右辺に$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$をかけた。
必然的に分母は$\sqrt{2}$になるから、あとで有理化しないといけない。

それを見越して、式Fの右辺に最初から$\displaystyle \frac{2}{2}$をかけるという方法もある。
この場合、式F以降は次のような計算になる。


式Fの右辺に$\displaystyle \frac{2}{2}$をかけて、
$\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt{19+\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$式I
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot 19+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$式I'
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{38+2\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$
以下省略

ポイントは、式Iから式I'の変形で、$2$を$\sqrt{2}^{2}$と考えて、$\sqrt{2}$をひとつだけ根号の中に入れること。
$2$全部を入れてしまうと、式I'は
$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2^{2}\cdot 19+2^{2}\sqrt{5^{2}\cdot 13}}}{2}$
$\displaystyle \alpha$$\displaystyle =\frac{\sqrt{76+2\sqrt{2\cdot 5^{2}\cdot 13}}}{2}$
より、復習の式に当てはめた場合

$a+b=76$
$ab=2\cdot 5^{2}\cdot 13$式J

となって、式Jを満たす$(a,b)$の組が増えてしまい 計算が面倒になってしまう。