大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅠA 第1問 [2] 解説

問題を解く準備

こういう問題は、決して頭の中だけで考えてはいけない。
必ず図や表にして、目で見ながら考えるようにしよう。
なので、最初にすることは、条件の集合を目に見える形にすることだ。

条件$p$を数直線で表すと、図Aができる。

図A
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図A

また、条件$q$は
$|x-a| \gt 3$
より
$x-a \lt -3$,$3 \lt x-a$
なので
$x \lt a-3$,$a+3 \lt x$
とかけるから、数直線で表すと図Bができる。

図B
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図B

この二つの図を見ながら、問題を解こう。

(1)

ここで、命題の真偽についての復習をしておく。

復習1

命題「仮定であれば結論である」について、
仮定 が 結論 に含まれていれば真 仮定 が 結論 からはみ出していれば偽 である。

つまり、仮定の集合を赤、結論の集合を青とすると、命題が真になるのは図Cのような場合。

図C
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 復習図C 大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 復習図C

また、命題が偽になるのは図Dのような場合だ。

図D
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 復習図D 大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 復習図D 大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 復習図D

反例は、仮定に含まれるけれど結論には含まれない部分にあたる。
なので、図Dの、赤い斜線はあるけど青い斜線がない部分が反例だ。

復習1より、命題「$p\Rightarrow q$」が真であるのは、
$p$の集合が$q$の集合に含まれるとき つまり
図Aの緑の範囲がすべて図Bの紫の範囲に含まれるとき である。
このとき、数直線は図Eまたは図Fのようになる。

図E
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図E
図F
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図F

図Eになるのは、
$a+3 \lt -1$
より
$a \lt -4$

図Fになるのは、
$3 \lt a-3$
より、
$6 \lt a$

のとき。

解答ソ:-, タ:4, チ:6

(2)

$a=6$のとき、数直線は図Gのような状態になる。

図G
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図G

復習1より、命題「$p\Rightarrow q$」の反例は、
$p$の集合に含まれていて、$q$の集合に含まれない部分 つまり
緑に含まれていて、紫に含まれない部分 にあたる。

よって、反例は
$x=3$
のみである。

解答ツ:3

(3)

次は、必要条件・十分条件の問題だ。

このタイプの問題は
$p\Rightarrow q$ ×
$p\Leftarrow q$ ○
なので、必要条件
っていう感じで解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。
なので、真偽と同じように、図を描いて集合の大小で考えよう。

復習2

図H
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図H

図Hで、
$p$は$q$の必要条件 $q$は$p$の十分条件 である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件 小さい集合は大きい集合の十分条件 である。

「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。

図I
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図I

図Iのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。

図J
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図J 大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図J

図Jのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。

$a=1$のとき、$p$と$q$の集合は図Kのようになる。

図K
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図K

$\overline{p}$かつ$\overline{q}$は、数直線の$p$でも$q$でもない部分。
なので、図Kの赤い範囲にあたる。

図Kの赤い範囲と 条件$r$をひとつの数直線に描くと、図Lができる。

図L
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図L

図Lを見ると、青い範囲は赤い範囲に含まれている。
ベン図にすると図Mのような状態である。

図M
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第1問[2] 解説図M

よって、復習2より、条件「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」は、条件$r$であるための
必要条件
である。

解答テ:0