玉を取り出す前、つぼの中は図Ａのような状態だ。

問題文中にもあるけど、玉を１個ずつ全部取り出す試行は、すべての玉を一列に並べる試行と等しい。
なので、この解説では、玉を一列に並べるものとして説明する。

その際、玉の位置を、左から数えて○囲み数字で表す。
例えば、２回目に取り出された玉は、
すべての玉を一列に並べたとき、左から２番目の玉 であり、
「②」と表す ことにする。

10個の玉を一列に並べる場合の数は
$10!$
だけど、６個の同士、４個の同士は区別かつかないので、
$6!$
と
$4!$
で割って、求める場合の数は
$\displaystyle \frac{10!}{6!\cdot 4!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
          $=10\cdot 3\cdot 7$
          $=210$
通りある。

解答ウ：２, エ：１, オ：０

別解

一列に並べた10個の玉のうち、４個を選んでにすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
${}_{10}\mathrm{C}_{4}=\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
       $=10\cdot 3\cdot 7$式Ａ
       $=210$
通りある。

解答ウ：２, エ：１, オ：０

８回目終了時にがすべて取り出されている場合は、
４個と４個を一列に並べる ときの場合の数と等しい。

８個の玉を一列に並べる場合の数は
$8!$
だけど、４個の同士、４個の同士は区別かつかないので、
$4!\times 4!$
で割って、求める場合の数は
$\displaystyle \frac{8!}{4!\times 4!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
          $=7\cdot 2\cdot 5$
          $=70$
通りある。

解答カ：７, キ：０

別解

一列に並べた８個の玉のうち、４個を選んでにすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
${}_{8}\mathrm{C}_{4}=\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
      $=7\cdot 2\cdot 5$
      $=70$
通りある。

解答カ：７, キ：０

⑨⑩がである場合、は４個とも①～⑧に含まれる。
よって、カキを確率にすると、それが$p_{9}$だ。

以上より、カキを式Ａで割って、
$p_{9}=\displaystyle \frac{70}{10\cdot 3\cdot 7}$
$p_{9}$$\displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答ク：１, ケ：３

次に、$p_{3}$（③④がである確率）を求める。

これは、図Ｂのような状態。
図中、の部分はでもでもよい。

この場合の数は、８つのの部分に４個と４個を並べればよいので、
$\displaystyle \frac{8!}{4!\cdot 4!}$または${}_{8}\mathrm{C}_{4}$
となって、カキと等しい。

なので、確率も$p_{9}$と等しく
$p_{3}=\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

解答コ：１, サ：３

シスセソはそのまま求めてもいいんだけど、作業が少し楽なので、ここでは余事象を使って考える。
余事象を使わない方法は、別解で説明した。

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４回目終了時にが２個以上取り出されている事象の余事象は、①②③④のうちが２個未満の場合。
つまり
なし，４個 １個，３個 の２つの場合。

それぞれの確率は、
なし，４個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$ １個，３個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$ とかける。

余事象の確率は、この２つをたして、
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}=\frac{1+6\cdot 4}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

途中式

                          $=\displaystyle \frac{25}{10\cdot 3\cdot 7}$
                          $=\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3\cdot 7}$

                          $=\displaystyle \frac{5}{42}$
となる。

これを全体事象の$1$から引いて、求める確率は
$1-\displaystyle \frac{5}{42}=\frac{37}{42}$
である。

解答シ：３, ス：７, セ：４, ソ：２

ここで、条件付き確率の復習をすると、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$，事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$式Ｂ
である。

だった。

今回、復習の事象$A$にあたるのは、４回目終了時にが２個以上取り出されている事象。
なので、シスセソより、
$P(A)=\displaystyle \frac{37}{42}$式Ｃ
である。

また、事象$B$にあたるのは、①②がの事象。
このとき、３回目と４回目に取り出される玉が赤白どちらであっても、４回目終了時にはが２個以上出ていることになる。
なので、事象$B$であれば必ず事象$A$に含まれる。
つまり、事象$B$であれば必ず事象（$A\cap B$）である。

よって、アイより、
$P(A\cap B)=P(B)$
$P(A \cap B)$$\displaystyle =\frac{1}{3}$式Ｄ
である。

以上より、式Ｃ，式Ｄを式Ｂに代入して、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{37}{42}}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{42}{3\cdot 37}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{14}{37}$
となる。

解答タ：１, チ：４, ツ：３, テ：７

事象$B$にあたるのは⑨⑩がの事象。
なので、$(A\cap B)$は図Ｃの事象である。

図Ｂの事象の確率$P(A\cap B)$を求める。
いっぺんに考えると混乱するから、１ステップずつ考えよう。

まず、事象$B$が起こる確率から。
事象$B$の確率は$p_{9}$なので、クケより
$\displaystyle \frac{1}{3}$式Ｅ
だ。

事象$B$が起こったとき、のうち２個は⑨⑩の位置なので、残りの玉は
４個 ４個 の合計８個。
次に求めるのは、この８個を一列に並べたときに①②③④のうち２個以上がである確率だ。

今回も、シスセソのときと同じように余事象を使うと、①②③④が
なし，４個 １個，３個 の２つの場合の確率を求めて、$1$から引けばよい。

それぞれの確率は、
なし，４個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$ １個，３個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$ とかける。

なので、余事象の確率は、この２つをたして$1$から引いて、
$1-\left(\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}\right)$

途中式

$=1-\displaystyle \frac{1+4\cdot 4}{\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
$=1-\displaystyle \frac{17}{2\cdot 7\cdot 5}$
$=\displaystyle \frac{70-17}{2\cdot 7\cdot 5}$

$=\displaystyle \frac{53}{2\cdot 7\cdot 5}$式Ｆ
となる。