大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅠA 第3問 解説

はじめに

玉を取り出す前、つぼの中は図Aのような状態だ。

図A
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図A

問題文中にもあるけど、玉を1個ずつ全部取り出す試行は、すべての玉を一列に並べる試行と等しい。
なので、この解説では、玉を一列に並べるものとして説明する。

その際、玉の位置を、左から数えて○囲み数字で表す。
例えば、2回目に取り出された玉は、
すべての玉を一列に並べたとき、左から2番目の玉 であり、
「②」と表す ことにする。

(1)

①②が赤玉である確率は
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{2}}=\frac{\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}{\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}}$
        $=\displaystyle \frac{6\cdot 5}{10\cdot 9}$
        $=\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

解答ア:1, イ:3

(2)

10個の玉を一列に並べる場合の数は
$10!$
だけど、6個の赤玉同士、4個の赤玉同士は区別かつかないので、
$6!$

$4!$
で割って、求める場合の数は
$\displaystyle \frac{10!}{6!\cdot 4!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
          $=10\cdot 3\cdot 7$
          $=210$
通りある。

解答ウ:2, エ:1, オ:0

別解

一列に並べた10個の玉のうち、4個を選んで白玉にすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
${}_{10}\mathrm{C}_{4}=\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
       $=10\cdot 3\cdot 7$式A
       $=210$
通りある。

解答ウ:2, エ:1, オ:0


8回目終了時に白玉がすべて取り出されている場合は、
赤玉4個と白玉4個を一列に並べる ときの場合の数と等しい。

8個の玉を一列に並べる場合の数は
$8!$
だけど、4個の赤玉同士、4個の白玉同士は区別かつかないので、
$4!\times 4!$
で割って、求める場合の数は
$\displaystyle \frac{8!}{4!\times 4!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\times 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
          $=7\cdot 2\cdot 5$
          $=70$
通りある。

解答カ:7, キ:0

別解

一列に並べた8個の玉のうち、4個を選んで白玉にすればよいと考えると、
選ぶ順番は関係ないので、
${}_{8}\mathrm{C}_{4}=\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
      $=7\cdot 2\cdot 5$
      $=70$
通りある。

解答カ:7, キ:0


⑨⑩が赤玉である場合、白玉は4個とも①~⑧に含まれる。
よって、カキを確率にすると、それが$p_{9}$だ。

以上より、カキを式Aで割って、
$p_{9}=\displaystyle \frac{70}{10\cdot 3\cdot 7}$
$p_{9}$$\displaystyle =\frac{1}{3}$
となる。

解答ク:1, ケ:3


次に、$p_{3}$(③④が赤玉である確率)を求める。

これは、図Bのような状態。
図中、赤玉または白玉の部分は赤玉でも白玉でもよい。

図B
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図B

この場合の数は、8つの赤玉または白玉の部分に赤玉4個と白玉4個を並べればよいので、
$\displaystyle \frac{8!}{4!\cdot 4!}$または${}_{8}\mathrm{C}_{4}$
となって、カキと等しい。

なので、確率も$p_{9}$と等しく
$p_{3}=\displaystyle \frac{1}{3}$
である。

解答コ:1, サ:3

(3)

シスセソはそのまま求めてもいいんだけど、作業が少し楽なので、ここでは余事象を使って考える。
余事象を使わない方法は、別解で説明した。


4回目終了時に赤玉が2個以上取り出されている事象の余事象は、①②③④のうち赤玉が2個未満の場合。
つまり
赤玉なし,白玉4個 赤玉1個,白玉3個 の2つの場合。

それぞれの確率は、
赤玉なし,白玉4個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉1個,白玉3個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
とかける。

余事象の確率は、この2つをたして、
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}=\frac{1+6\cdot 4}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
途中式                           $=\displaystyle \frac{25}{10\cdot 3\cdot 7}$
                          $=\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3\cdot 7}$
                          $=\displaystyle \frac{5}{42}$
となる。

これを全体事象の$1$から引いて、求める確率は
$1-\displaystyle \frac{5}{42}=\frac{37}{42}$
である。

解答シ:3, ス:7, セ:4, ソ:2

別解

これを余事象を使わずに解くと、以下のようになる。

4回目終了時に赤玉が2個以上取り出されているのは、①②③④が
赤玉2個,白玉2個 赤玉3個,白玉1個 赤玉4個,白玉なし の3つの場合。

それぞれの確率は、
赤玉2個,白玉2個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉3個,白玉1個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉4個,白玉なしのとき
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{4}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
とかける。

よって、求める確率は、この3つをたして、
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{4}}$
途中式 $=\displaystyle \frac{\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}+\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot 4+\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 3+5\cdot 4\cdot 4+3\cdot 5}{10\cdot 3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{6\cdot 3+4\cdot 4+3}{2\cdot 3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{37}{42}$
となる。

解答シ:3, ス:7, セ:4, ソ:2

ここで、条件付き確率の復習をすると、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$,事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$式B
である。

だった。

今回、復習の事象$A$にあたるのは、4回目終了時に赤玉が2個以上取り出されている事象。
なので、シスセソより、
$P(A)=\displaystyle \frac{37}{42}$式C
である。

また、事象$B$にあたるのは、①②が赤玉の事象。
このとき、3回目と4回目に取り出される玉が赤白どちらであっても、4回目終了時には赤玉が2個以上出ていることになる。
なので、事象$B$であれば必ず事象$A$に含まれる。
つまり、事象$B$であれば必ず事象($A\cap B$)である。

よって、より、
$P(A\cap B)=P(B)$
$P(A \cap B)$$\displaystyle =\frac{1}{3}$式D
である。

以上より、式C,式Dを式Bに代入して、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{37}{42}}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{42}{3\cdot 37}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{14}{37}$
となる。

解答タ:1, チ:4, ツ:3, テ:7

(4)

タチツテと同じように考えよう。

復習の事象$A$にあたるのは、タチツテのときと同じで、4回目終了時に赤玉が2個以上取り出されている事象だ。
これは、シスセソより、
$P(A)=\displaystyle \frac{37}{42}$式C
だった。


事象$B$にあたるのは⑨⑩が赤玉の事象。
なので、$(A\cap B)$は図Cの事象である。

図C
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図C

図Bの事象の確率$P(A\cap B)$を求める。
いっぺんに考えると混乱するから、1ステップずつ考えよう。

まず、事象$B$が起こる確率から。
事象$B$の確率は$p_{9}$なので、より
$\displaystyle \frac{1}{3}$式E
だ。

事象$B$が起こったとき、赤玉のうち2個は⑨⑩の位置なので、残りの玉は
赤玉4個 白玉4個 の合計8個。
次に求めるのは、この8個を一列に並べたときに①②③④のうち2個以上が赤玉である確率だ。

今回も、シスセソのときと同じように余事象を使うと、①②③④が
赤玉なし,白玉4個 赤玉1個,白玉3個 の2つの場合の確率を求めて、$1$から引けばよい。

それぞれの確率は、
赤玉なし,白玉4個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉1個,白玉3個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
とかける。

なので、余事象の確率は、この2つをたして$1$から引いて、
$1-\left(\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}\right)$
途中式 $=1-\displaystyle \frac{1+4\cdot 4}{\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
$=1-\displaystyle \frac{17}{2\cdot 7\cdot 5}$
$=\displaystyle \frac{70-17}{2\cdot 7\cdot 5}$
$=\displaystyle \frac{53}{2\cdot 7\cdot 5}$式F
となる。

この部分の別解

式Fの確率を余事象を使わずに求めると、以下のようになる。

4回目終了時に赤玉が2個以上取り出されているのは、①②③④が
赤玉2個,白玉2個 赤玉3個,白玉1個 赤玉4個,白玉なし の3つの場合のとき。

赤玉2個は⑨⑩に使うので、残る8個を考えると、それぞれの確率は
赤玉2個,白玉2個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉3個,白玉1個のとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
赤玉4個,白玉なしのとき
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
とかける。

この3つをたすと、上の解説の式Fだ。
$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}+\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{{}_{8}\mathrm{C}_{4}}$
途中式 $=\displaystyle \frac{\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}+4\cdot 4+1}{\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
$=\displaystyle \frac{6\cdot 6+4\cdot 4+1}{2\cdot 7\cdot 5}$
$=\displaystyle \frac{53}{2\cdot 7\cdot 5}$式F
である。

図Bの事象$(A\cap B)$は、
⑨⑩が赤玉 ①②③④のうち個以上が赤玉 の両方が起こったとき。
両方とも起こらないといけないので、かけ算だ。

よって、図Cの事象$(A\cap B)$の確率は、式Eと式Fをかけて、
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{53}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{53}{3\cdot 2\cdot 7\cdot 5}$式G
である。


以上より、求める条件付き確率$P_{A}(B)$は、式C,式Gを式Bに代入して、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{\frac{53}{3\cdot 2\cdot 7\cdot 5}}{\frac{37}{42}}$
途中式 $P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{53\cdot 42}{3\cdot 2\cdot 7\cdot 5\cdot 37}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{53}{5\cdot 37}$
$P_{A}(B)$$\displaystyle =\frac{53}{185}$
となる。

解答ト:5, ナ:3, ニ:1, ヌ:8, ネ:5

(5)

今回も、1ステップずつに分けて考えよう。

玉に印をつけるところから考える。
⑨⑩が印のついた赤玉である確率を求めるので、印のついた赤玉は2個以上ないと困る。
なので、印をつけるために玉を3個取り出したときに、それが
赤玉2個,白玉1個パターンA 赤玉3個,白玉なしパターンB の2パターンのどちらかでなければならない。
この2パターンに分けて考える。

以下、印のついた赤玉同士は見分けがつかないものとして解く。

アドバイス

見分けがつくものとして解いてもいいけど、これまで赤玉白玉ともに見分けがつかないとして考えてきたので、ここではそれにあわせておく。

パターンA

印をつけるためにつぼから玉を3個取り出したとき、それが
赤玉2個,白玉1個 である確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}}=\frac{\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\cdot 4}{\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}$
              $=\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 10\cdot 9\cdot 8}$
              $=\displaystyle \frac{1}{2}$式H
である。


取りだした球に印をつけると、10個の玉のうちわけは
印のついた赤玉2個 印のついた白玉1個 赤玉4個 白玉3個 となる。

この10個の玉を一列に並べる場合の数は、
$\displaystyle \frac{10!}{2!\cdot 1!\cdot 4!\cdot 3!}$
または
${}_{10}\mathrm{C}_{2}\cdot {}_{8}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{4}\cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3}$
とかける。

これを計算すると、どちらの式も
$\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
より
$10\cdot 9\cdot 4\cdot 7\cdot 5$式I
通りある。


いま問われているのは、図Dのように並ぶ確率だ。

図D
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

⑨⑩の部分の場合の数は、見分けのつかない2つの印のついた赤玉を並べるので、
$1$式J
通り。

残りの8つの赤玉または白玉の部分には
印のついた白玉1個 赤玉4個 白玉3個 を一列に並べるので、場合の数は
$\displaystyle \frac{8!}{1!\cdot 4!\cdot 3!}$
または
${}_{8}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{4}\cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3}$
より
$\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=8\cdot 7\cdot 5$式K
通り。


以上より、パターンAになる確率は、
式H$\displaystyle \times\frac{\text{式J}\times \text{式K}}{\text{式I}}$
より
$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1\times 8\cdot 7\cdot 5}{10\cdot 9\cdot 4\cdot 7\cdot 5}$式L
である。

パターンB

印をつけるためにつぼから玉を3個取り出したとき、それが
赤玉3個 である確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}}=\frac{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}}$
         $=\displaystyle \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 10\cdot 9\cdot 8}$
         $=\displaystyle \frac{1}{6}$式M
である。


取りだした球に印をつけると、10個の玉のうちわけは
印のついた赤玉3個 赤玉3個 白玉4個 となる。

この10個の玉を一列に並べる場合の数は、
$\displaystyle \frac{10!}{3!\cdot 3!\cdot 4!}$
または
${}_{10}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{4}$
とかける。

これを計算すると、どちらの式も
$\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$
より
$10\cdot 3\cdot 4\cdot 7\cdot 5$式N
通りある。


いま問われているのは、図Dのように並ぶ確率だ。

図D
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図D

⑨⑩の場合の部分の数は、3つの印のついた赤玉うち2個を取り出して並べるんだけど、印のついた赤玉同士は見分けがつかないので
$1$式O
通り。

アドバイス

ここのところが分かりにくいかも知れない。

3つの印のついた赤玉のうち2個を取り出して並べるから、
玉の取り出し方が、${}_{3}\mathrm{C}_{2}$通り 取りだした2個の印のついた赤玉は区別がつかないので、並べ方$1$通り あわせて
${}_{3}\mathrm{C}_{2}\times 1$通り
じゃないの?っていう疑問が出そうだ。


ひとつ、例を挙げて考えよう。
印のついた赤玉3個と白玉1個を一列に並べるときに、図Eのようになる場合の数を求めてみる。

図E
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図E

考えるまでもなく、答えは図Fの2通りしかない。

図F
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第3問 解説図F

これを、
③④の部分は、3つの印のついた赤玉のうち2個を取り出して並べるのから${}_{3}\mathrm{C}_{2}$通り と考えてしまうと、
③④の並べ方は、
${}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$通り
①②の並べ方は、残った印のついた赤玉白玉を並べるから、
$2!=2$通り
より
$3\times 2=6$通り
となってしまう。

こうなった理由は、3個の印のついた赤玉から2個取り出す場合の数が
${}_{3}\mathrm{C}_{2}$通り
としてしまったこと。
3個の印のついた赤玉は区別がつかないので、どの2個を取り出しても同じ場合と考える。

図Dの8つの赤玉または白玉の部分には、⑨⑩を並べた残りの
印のついた赤玉1個 赤玉3個 白玉4個 を一列に並べるので、場合の数は
$\displaystyle \frac{8!}{1!\cdot 3!\cdot 4!}$
または
${}_{8}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{7}\mathrm{C}_{3}\cdot {}_{4}\mathrm{C}_{4}$
より
$\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=8\cdot 7\cdot 5$式P
通り。


以上より、パターンBになる確率は、
式M$\displaystyle \times\frac{\text{式O}\times \text{式P}}{\text{式N}}$
より
$\displaystyle \frac{1}{6}\times\frac{1\times 8\cdot 7\cdot 5}{10\cdot 3\cdot 4\cdot 7\cdot 5}$式Q
である。

上の計算から、ハヒは、式Lと式Qをたして、
$\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 5}{2\cdot 10\cdot 9\cdot 4\cdot 7\cdot 5}+\frac{8\cdot 7\cdot 5}{6\cdot 10\cdot 3\cdot 4\cdot 7\cdot 5}$
途中式 $=\displaystyle \frac{(8\cdot 7\cdot 5)}{2\cdot 9(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}+\frac{(8\cdot 7\cdot 5)}{6\cdot 3(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}$
$=\displaystyle \frac{2(8\cdot 7\cdot 5)}{2\cdot 9(10\cdot 4\cdot 7\cdot 5)}$
$=\displaystyle \frac{1}{9\cdot 5}$
$=\displaystyle \frac{1}{45}$
である。

解答ノ:1, ハ:4, ヒ:5