表Ａの値の和は$ 100\%$なので、
$45+$アイ$+3+10+29+1=100$
より
アイ$=12(\%)$
である。

解答ア：１, イ：２

なので、有権者全体において、
今回投票の人は
$45+12+3=60(\%)$ 前回投票の人は
$45+10=55(\%)$ である。

よって、有権者全体から無作為に一人を選ぶとき、
今回投票の人が選ばれる確率は
$60(\%)=0.60$ 前回投票の人が選ばれる確率は
$55(\%)=0.55$ となる。

解答ウ：６, エ：０, オ：５, カ：５

また、今回棄権かつ前回投票の人の母比率は
$10(\%)=0.10$
なので、この母集団から大きさ$900$の標本を無作為に抽出したとき、標本に含まれる 今回棄権かつ前回投票の人数は、二項分布
$B(900,0.10)$
に従う。

解答キ：１, ク：０

ここで、二項分布についての復習をしておこう。

復習

確率変数$X$が二項分布$B(n,p)$に従うとき、
$X$の
平均$E(X)=np$ 分散$V(X)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ である。

復習より、
$X$の平均（期待値）$E(X)$は、
$E(X)=900\times 0.10$
         $=90$ $X$の標準偏差$\sigma(X)$は、
$\sigma(X)=\sqrt{900\times 0.10(1-0.10)}$
        $=\sqrt{9 \times 10^{2}\times 0.1^{2}\times 9}$
        $=9.0$ となる。

解答ケ：９, コ：０, サ：９, シ：０

この$X$が$105$以上である確率を求める。
グラフ的には、$X$の確率分布をグラフにすると図Ｂができるけど、この赤い部分の面積を問われている。

図Ｂはイメージをつかむために載せただけで、この図が描ける必要はない。

ここから先はお決まりの解き方なので、解説は最小限にする。
詳しくはこのページを見てほしい。

標本サイズの$900$は大きい数なので、図Ｂの二項分布は正規分布$N(90,9.0^{2})$で近似できる。
$N(90,9.0^{2})$のグラフを図Ｂに描きたすと、図Ｃのようになる。

この$N(90,9.0^{2})$を使って、赤い部分の面積を求める。

面積の計算は正規分布表を使うけど、正規分布表に載っているのは
標準正規分布の$N(0,1)$ 図Ｃの分布は
$N(90,9.0^{2})$ なので、そのままでは比較できない。
図Ｃの正規分布を標準化して$N(0,1)$にしよう。

標準化の式は問題文中のケ～シの式で、
$Z=\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}$式Ａ
だった。

これを使って図Ｃの分布を標準化する。

図中の$105$を標準化すると、式Ａより
$\displaystyle \frac{105-E(X)}{\sigma(X)}$
だけど、いま
ケコより、$E(X)=90$ サシより、$\sigma(X)=9.0$ なので、
$\displaystyle \frac{105-90}{9.0}=1.\dot{6}$
となる。

よって、図Ｃを標準化すると図Ｄができる。

図Ｄの赤い部分の面積を求めるので、正規分布表の$1.67$を見ると
$0.4525$
とある。
これが、図Ｄの緑の面積だ。

緑の面積と赤い面積の合計は$0.5$なので、
赤$=0.5-$緑
より、
赤$=0.5-0.4525$
   $=0.0475$
   $\doteqdot 0.05$
となる。

解答ス：０, セ：５

次は、母比率の推定だ。
まず、母比率を推定する式の復習から。

公式

標本比率を$r$，標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$の信頼区間を求める式は
$r-z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\leqq p\leqq r+z\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$
ただし、$z$は
信頼度95%のとき、$1.96$
信頼度99%のとき、$2.58$
である。

公式より、$p$に対する信頼度95%の信頼区間は、
$r-1.96\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\leqq p\leqq r+1.96\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$
とかける。

よって、信頼区間の幅$L$は
$L=\left(r+1.96\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\right)-\left(r-1.96\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}\right)$
なので、
$L=2\times 1.96\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$
より
$L=1.96\times 2\sqrt{\frac{r(1-r)}{n}}$式Ｂ
となる。

解答ソ：５

アドバイス

これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、センター試験本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページを参照してほしい。

$r=0.5$のとき、式Ｂの値が$0.1$になるようにしたい。

式Ｂに$L=0.1$，$r=0.5$を代入すると、
$1.96\times 2\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}}=0.1$
より
$1.96\sqrt{\frac{1}{n}}=0.1$
$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{0.1}{1.96}$
となる。

この式の両辺を２乗すると
$\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{0.1^{2}}{1.96^{2}}$
より
$n=\displaystyle \frac{1.96^{2}}{0.1^{2}}$
$n$$=1.96^{2}\times 10^{2}$式Ｃ
とかける。

問題文に$1.96^{2}=3.84$として計算するように指示があるので、式Ｃは
$n=3.84\times 100$
$n$$=384$
となる。

解答タ：３, チ：８, ツ：４

標本の大きさが$384$のとき、信頼区間の幅$L$は、式Ｂに式Ｃを代入して、
$L=1.96\times 2\sqrt{\frac{r(1-r)}{1.96^{2}\times 10^{2}}}$
$L$$\displaystyle =\frac{1.96\times 2\sqrt{r(1-r)}}{1.96\times 10}$
$L$$\displaystyle =\frac{\sqrt{r(1-r)}}{5}$式Ｄ
と表せる。

式Ｄを見ると、$L$は$r$の値によって変化することが分かる。

式Ｄで$r$が含まれている部分の
$r(1-r)$
について考えてみると、

$r$は標本比率なので、値の範囲は
$0\leqq r\leqq 1$
である。 横軸を$r$としてグラフを描くと、$r(1-r)$は図Ｅのような形になる。

図Ｅより、$r(1-r)$は
$r=0.5$
のときに最大。
よって、$\sqrt{r(1-r)}$も
$r=0.5$
のときに最大なので、
$L$は$r=0.5$のとき最大である。

解答テ：１