式Ａの直線が点Aで曲線$C_{2}$に接することを使って、$b$，$c$を$a$で表そう。

$C_{2}$の式の$g(x)$を微分すると
$g'(x)=3x^{2}+2ax+b$式Ｂ
なので、
$g'(-1)=3\cdot(-1)^{2}+2a\cdot(-1)+b$
$g'(-1)$$=-2a+b+3$
となる。

これが式Ａの傾きと等しいので、
$g'(-1)=3$
とかける。

解答カ：３

よって、
$-2a+b+3=3$
より
$b=2a$式Ｃ
と表せる。

解答キ：２

また、曲線$C_{2}$は点Aを通るので、$y=g(x)$に$(-1,-2)$を代入して、
$(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+c=-2$
より
$-1+a-b+c=-2$
$a-b+c=-1$
となる。

これに式Ｃを代入して、
$a-2a+c=-1$
より
$c=a-1$
である。

解答ク：ａ, ケ：１

以上より、$g(x)$，$g'(x)$は、
$g(x)=x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1$式Ｄ
$g'(x)=3x^{2}+2ax+2a$式Ｂ'
とかける。

$a=-2$のとき、
式Ｄより、
$g(x)=x^{3}-2x^{2}-4x-3$式Ｅ 式Ｂ'より、
$g'(x)=3x^{2}-4x-4$ である。

よって、$g'(x)=0$となるのは、
$3x^{2}-4x-4=0$
より
$(3x+2)(x-2)=0$
$x=-\displaystyle \frac{2}{3}$，$2$式Ｆ
のとき。

ここで、３次関数の形の復習をしておこう。

$g(x)$の$x^{3}$の係数は正だから、$y=g(x)$のグラフは全体として右上がり。
また、$g'(x)=0$の解が２個あるので、グラフは極大値と極小値をもつ。
なので、$y=g(x)$の概形は図Ａの左のグラフのような形である。

よって、$g(x)$は、式Ｆの２つの値のうち、

をとる。

最後の小問は、
$C_{1}$：$y=f(x)$
         $=x^{3}-1$ $C_{2}$：$y=g(x)$
         $=x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1$ $x=-2$ $x=1$ に囲まれた面積$S$を求める問題だ。

まず、$S$の左部分の$S_{1}$から考えよう。

$C_{1}$と$C_{2}$は$x=-1$で共有点をもつので、
$-2\leqq x\leqq-1$の範囲で
$C_{1}$の方が上にあれば、
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{f(x)-g(x)\}dx$ $C_{2}$の方が上にあれば、
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{g(x)-f(x)\}dx$ とかける。
この範囲で$C_{1}$と$C_{2}$の上下が入れ替わる場合は、選択肢にないので今は考えない。

というわけで、$-2\leqq x\leqq-1$の範囲で$C_{1}$と$C_{2}$どちらが上にあるか考えよう。

一番安直な方法は、$x$にこの範囲の値を代入してみることだ。
とりあえず$-\displaystyle \frac{3}{2}$あたりを使ってみる。

$f(x)$に$x=-\displaystyle \frac{3}{2}$を代入すると、
$\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$式Ｇ

式Ｄに$x=-\displaystyle \frac{3}{2}$を代入すると、 $\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}+a\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$
                    $\displaystyle +2a\left(-\frac{3}{2}\right)+a-1$

途中式

$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$\displaystyle =\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$
                    $\displaystyle +a\left\{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+2\left(-\frac{3}{2}\right)+1\right\}$
$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$\displaystyle =\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1+a\left(\frac{9}{4}-3+1\right)$

$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$=$$\displaystyle \left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$$+\displaystyle \frac{a}{4}$式Ｆ

となる。

式Ｆの赤い部分は式Ｇの右辺と同じなので、
$g\displaystyle \left(-\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{a}{4}$
とかける。

$a \lt 0$なので、この式から
$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right) \lt f\left(-\frac{3}{2}\right)$
であることが分かる。
つまり、$f(x)$のグラフである$C_{1}$の方が上にある。

よって、$S_{1}$は
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{f(x)-g(x)\}dx$式Ｇ
と表せる。

$S_{2}$でも同じことをしよう。

$-1\leqq x\leqq 1$に含まれる$x=0$を、$f(x)$と$g(x)$に代入する。

$f(x)$に$x=0$を代入すると、 $f(0)=-1$

式Ｄに$x=0$を代入すると、 $g(0)=a-1$

だけど、$a \lt 0$なので、
$g(0) \lt f(0)$
だ。
なので、$f(x)$のグラフである$C_{1}$の方が上にある。

よって、$S_{2}$は
$S_{2}=\displaystyle \int_{-1}^{1}\{f(x)-g(x)\}dx$式Ｈ
と表せる。