大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

まず、点Aにおける曲線$C_{1}$の接線から。

$f(x)$を微分すると
$f'(x)=3x^{2}$
なので、$C_{1}$の$x=-1$における接線の傾きは
$f'(-1)=3$
である。

解答ア:3

よって、接線は、点Aを通る傾き$3$の直線なので、
$y-(-2)=3\{x-(-1)\}$
より
$y=3x+3-2$
$y$$=3x+1$式A
となる。

解答イ:3, ウ:1


式Aを変形して
$3x-y+1=0$
として、点と直線の距離の公式に当てはめると、原点と直線$\ell$との距離$d$は、
$d=\displaystyle \frac{\left|3\cdot 0-0+1\right|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}$
$d$$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{10}}$
$d$$\displaystyle =\frac{\sqrt{10}}{10}$
である。

解答エ:1, オ:0

(2)

式Aの直線が点Aで曲線$C_{2}$に接することを使って、$b$,$c$を$a$で表そう。

$C_{2}$の式の$g(x)$を微分すると
$g'(x)=3x^{2}+2ax+b$式B
なので、
$g'(-1)=3\cdot(-1)^{2}+2a\cdot(-1)+b$
$g'(-1)$$=-2a+b+3$
となる。

これが式Aの傾きと等しいので、
$g'(-1)=3$
とかける。

解答カ:3

よって、
$-2a+b+3=3$
より
$b=2a$式C
と表せる。

解答キ:2

また、曲線$C_{2}$は点Aを通るので、$y=g(x)$に$(-1,-2)$を代入して、
$(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+c=-2$
より
$-1+a-b+c=-2$
$a-b+c=-1$
となる。

これに式Cを代入して、
$a-2a+c=-1$
より
$c=a-1$
である。

解答ク:a, ケ:1


以上より、$g(x)$,$g'(x)$は、
$g(x)=x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1$式D
$g'(x)=3x^{2}+2ax+2a$式B'
とかける。

(3)

$a=-2$のとき、
式Dより、
$g(x)=x^{3}-2x^{2}-4x-3$式E
式B'より、
$g'(x)=3x^{2}-4x-4$
である。

よって、$g'(x)=0$となるのは、
$3x^{2}-4x-4=0$
より
$(3x+2)(x-2)=0$
$x=-\displaystyle \frac{2}{3}$,$2$式F
のとき。

ここで、3次関数の形の復習をしておこう。


復習

3次関数のグラフは、
$x^{3}$の係数が正のとき、全体として右上がりの

図A
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第2問 解説図A

のような形に、
$x^{3}$の係数が負のとき、全体として右下がりの

図B
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第2問 解説図B

のような形になる。

$g(x)$の$x^{3}$の係数は正だから、$y=g(x)$のグラフは全体として右上がり。
また、$g'(x)=0$の解が2個あるので、グラフは極大値と極小値をもつ。
なので、$y=g(x)$の概形は図Aの左のグラフのような形である。

よって、$g(x)$は、式Fの2つの値のうち、

小さい方の$x=-\displaystyle \frac{2}{3}$のとき極大値

解答コ:-, サ:2, シ:3

大きい方の$x=2$のとき最小値

解答ツ:2

をとる。


あとは、計算だ。

極大値は、$x=-\displaystyle \frac{2}{3}$を式Eに代入して、
$\displaystyle g\left(-\frac{2}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}-2\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$
                      $\displaystyle -4\left(-\frac{2}{3}\right)-3$
途中式 $g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =-\frac{2^{3}}{3^{3}}-\frac{2^{3}}{3^{2}}+\frac{2^{3}}{3}-3$
$g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =-\frac{2^{3}}{3^{3}}-\frac{3\cdot 2^{3}}{3^{3}}+\frac{3^{2}\cdot 2^{3}}{3^{3}}-\frac{3^{4}}{3^{3}}$
$g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =\frac{2^{3}\cdot(-1-3+9)-3^{4}}{3^{3}}$
$g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =\frac{2^{3}\cdot 5-3^{4}}{3^{3}}$
$g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =\frac{40-81}{3^{3}}$
$g\displaystyle \left(-\frac{2}{3}\right)$$\displaystyle =-\frac{41}{27}$
である。

解答ス:-, セ:4, ソ:1, タ:2, チ:7

最小値は、$x=2$を式Eに代入して、
$g(2)=2^{3}-2\cdot 2^{2}-4\cdot 2-3$
$g(2)$$=-2^{3}-3$
$g(2)$$=-11$
となる。

解答テ:-, ト:1, ナ:1

(4)

最後の小問は、
$C_{1}$:$y=f(x)$
         $=x^{3}-1$
$C_{2}$:$y=g(x)$
         $=x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1$
$x=-2$ $x=1$ に囲まれた面積$S$を求める問題だ。


まず、$S$の左部分の$S_{1}$から考えよう。

$C_{1}$と$C_{2}$は$x=-1$で共有点をもつので、
$-2\leqq x\leqq-1$の範囲で
$C_{1}$の方が上にあれば、
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{f(x)-g(x)\}dx$
$C_{2}$の方が上にあれば、
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{g(x)-f(x)\}dx$
とかける。
この範囲で$C_{1}$と$C_{2}$の上下が入れ替わる場合は、選択肢にないので今は考えない。

というわけで、$-2\leqq x\leqq-1$の範囲で$C_{1}$と$C_{2}$どちらが上にあるか考えよう。

一番安直な方法は、$x$にこの範囲の値を代入してみることだ。
とりあえず$-\displaystyle \frac{3}{2}$あたりを使ってみる。

$f(x)$に$x=-\displaystyle \frac{3}{2}$を代入すると、
$\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$式G

式Dに$x=-\displaystyle \frac{3}{2}$を代入すると、 $\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}+a\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$
                    $\displaystyle +2a\left(-\frac{3}{2}\right)+a-1$
途中式 $\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$\displaystyle =\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$
                    $\displaystyle +a\left\{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+2\left(-\frac{3}{2}\right)+1\right\}$
$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$\displaystyle =\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1+a\left(\frac{9}{4}-3+1\right)$
$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right)$$=$$\displaystyle \left(-\frac{3}{2}\right)^{3}-1$$+\displaystyle \frac{a}{4}$式F

となる。

式Fの赤い部分は式Gの右辺と同じなので、
$g\displaystyle \left(-\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{a}{4}$
とかける。

$a \lt 0$なので、この式から
$\displaystyle g\left(-\frac{3}{2}\right) \lt f\left(-\frac{3}{2}\right)$
であることが分かる。
つまり、$f(x)$のグラフである$C_{1}$の方が上にある。

よって、$S_{1}$は
$S_{1}=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{f(x)-g(x)\}dx$式G
と表せる。


$S_{2}$でも同じことをしよう。

$-1\leqq x\leqq 1$に含まれる$x=0$を、$f(x)$と$g(x)$に代入する。

$f(x)$に$x=0$を代入すると、 $f(0)=-1$

式Dに$x=0$を代入すると、 $g(0)=a-1$

だけど、$a \lt 0$なので、
$g(0) \lt f(0)$
だ。
なので、$f(x)$のグラフである$C_{1}$の方が上にある。

よって、$S_{2}$は
$S_{2}=\displaystyle \int_{-1}^{1}\{f(x)-g(x)\}dx$式H
と表せる。


以上より、$S$は式Gと式Hをたして、
$S=\displaystyle \int_{-2}^{-1}\{f(x)-g(x)\}dx$
                    $\displaystyle +\int_{-1}^{1}\{f(x)-g(x)\}dx$
$S$$\displaystyle =\int_{-2}^{1}\{f(x)-g(x)\}dx$式I
である。

解答ニ:3

別解

$C_{1}$と$C_{2}$の上下関係を確認する方法は他にもある。 例えば、

$f(x)-g(x)=(x^{3}-1)$
                    $-(x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1)$
$f(x)-g(x)$$=-a(x^{2}+2x+1)$
$f(x)-g(x)$$=-a(x+1)^{2}$
となるけど、
$a \lt 0$ $(x+1)^{2}\geqq 0$ なので、
$0\leqq-a(x+1)^{2}$
だ。
よって、点Aで接する以外は、$f(x)$のグラフである$C_{1}$が常に上にある。

などが考えられる。

最後に、式Iを使って$S$を求めよう。

式Iに$f(x)$の式と式Dを代入すると、
$S=\displaystyle \int_{-2}^{1}\{(x^{3}-1)$
             $-(x^{3}+ax^{2}+2ax+a-1)\}dx$
より
途中式 $S \displaystyle =\int_{-2}^{1}-a(x^{2}+2x+1)dx$
$S$$\displaystyle =-a\int_{-2}^{1}(x^{2}+2x+1)dx$
$S$$=\displaystyle -a\left[\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x\right]_{-2}^{1}$
$S$$\displaystyle =-a\left\{\left(\frac{1}{3}+1+1\right)-\left(-\frac{8}{3}+4-2\right)\right\}$
$S$$\displaystyle =-a\left(\frac{1+3+3}{3}-\frac{8+12-6}{3}\right)$
$S$$\displaystyle =-a\cdot\frac{1+8}{3}$
$S$$=-3a$
である。

解答ヌ:-, ネ:3