関数
$\displaystyle f(x)=\sqrt{3}\cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\cos 3x$
$f(x)$$=\sqrt{3} \Bigl\{$$\displaystyle \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)$$+\cos 3x \Bigr\}$式Ａ
について考える。

式Ａの赤い部分は、加法定理より
$\displaystyle \cos\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x\cos\frac{\pi}{3}-\sin 3x\sin\frac{\pi}{3}$
                    $=\displaystyle \frac{1}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x$
とかける。

なので、式Ａは、
$\displaystyle f(x)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x+\cos 3x\right)$
$f(x)$$\displaystyle =-\frac{3}{2}\sin 3x+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cos 3x$式Ｂ
と変形できる。

解答タ：３, チ：２, ツ：３, テ：３

さらに、式Ｂを
$f(x)=\displaystyle \frac{3}{2}($$-\sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x$$)$
                    式Ｂ'
と変形する。

赤い部分は、三角関数の合成をすると、図Ａより、
$\displaystyle -\sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x=2\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)$
である。

よって、式Ｂ'は
$f(x)=\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)$
$f(x)$$\displaystyle =3\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)$式Ｃ
となる。

解答ト：３, ナ：２, ニ：３

(1)では、$x$の範囲は特に指定されてない。
なので、定義域はすべての実数だ。
よって、$ 3x+\displaystyle \frac{2}{3}\pi$はすべての実数をとる。

$ 3x+\displaystyle \frac{2}{3}\pi$がすべての実数のとき、
$-1\leqq\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)\leqq 1$
なので、
$-3\leqq 3\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)\leqq 3$
だから、これに式Ｃを代入すると
$-3\leqq f(x)\leqq 3$
となる。

以上より、$f(x)$の最大値は
$3$
であることが分かる。

解答ヌ：３

ここで、グラフの移動と拡大縮小について復習しておこう。

グラフの移動と拡大縮小が分かったところで、$y=f(x)$のグラフを考よう。

式Ｃより、このグラフは
$\displaystyle y=3\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)$
とかける。

これをちょっと変形して
$\displaystyle \frac{y}{3}=\sin 3\left(x+\frac{2}{9}\pi\right)$
とすると、復習より、このグラフは、$y=\sin x$のグラフを
$y$軸方向に$3$倍に拡大 $x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{3}$に縮小 $x$軸方向に$-\displaystyle \frac{2}{9}\pi$平行移動 したものであることが分かる。

今問われているのは周期なので、必要なのは$x$軸方向の拡大縮小だけだ。
もとの$y=\sin x$のグラフの周期は
$ 2\pi$
だった。
$y=f(x)$のグラフは、これを$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{3}$にしたものなので、周期も$\displaystyle \frac{1}{3}$になって
$\displaystyle \frac{2}{3}\pi$
である。

解答ネ：２, ノ：３

$f(x)=t$
に式Ｃを代入すると
$\displaystyle 3\sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)=t$
より、
$\displaystyle \sin\left(3x+\frac{2}{3}\pi\right)=\frac{t}{3}$式Ｄ
とかける。

ここで、
$3x+\displaystyle \frac{2}{3}\pi=A$
とおくと、式Ｄは
$\displaystyle \sin A=\frac{t}{3}$式Ｄ'
となる。

見慣れた三角方程式になった。
あとはいつものように解こう。

まず、$A$の範囲を求める。

$x$の範囲は
$ 0\leqq x\leqq 2\pi$
だけど、これを変形すると
$ 0\leqq 3x\leqq 6\pi$
より
$\displaystyle \frac{2}{3}\pi\leqq 3x+\frac{2}{3}\pi\leqq 6\pi+\frac{2}{3}\pi$
となる。

よって、
$\displaystyle \frac{2}{3}\pi\leqq A\leqq 6\pi+\frac{2}{3}\pi$
である。
$ 2\pi$で円を一周だから、$ 6\pi$は３周分。
つまり、$A$の範囲は、
$\displaystyle \frac{2}{3}\pi$から始まって３周分
となる。

これを図で表すと、図Ｂができる。

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