大学入試センター試験 2020年(令和２年) 追試 数学ⅡＢ 第１問 [2] 解説
(1)
関数
$$
\begin{align}
f(x)&=\sqrt{3}\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\cos 3x\\
&=\sqrt{3} \left\{\textcolor{red}{\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)}+\cos 3x \right\}
\end{align}
$$
式Ａ
について考える。
式Ａの赤い部分は、加法定理より
$$
\begin{align}
\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\cos 3x\cos\dfrac{\pi}{3}-\sin 3x\sin\dfrac{\pi}{3}\\
&=\dfrac{1}{2}\cos 3x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x
\end{align}
$$
とかける。
なので、式Ａは、
$$
\begin{align}
f(x)&=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2}\cos 3x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x+\cos 3x\right)\\
&=-\dfrac{3}{2}\sin 3x+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cos 3x \class{tex_formula}{式Ｂ}
\end{align}
$$
と変形できる。
解答タ：３, チ：２, ツ：３, テ：３
さらに、式Ｂを
$f(x)=\dfrac{3}{2}(\textcolor{red}{-\sin 3x+\sqrt{3}\cos 3x})$式Ｂ'
と変形する。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ａ](_image/2B_1_2_01.svg)
式Ｂ'の赤い部分は、三角関数の合成をすると、図Ａより、
$\begin{aligned}-\sin 3x+& \sqrt{3}\cos 3x\\&=2\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\end{aligned}$
である。
よって、式Ｂ'は
$$
\begin{align}
f(x)&=\dfrac{3}{2}\cdot 2\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\\
&=3\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\class{tex_formula}{式Ｃ}
\end{align}
$$
となる。
解答ト：３, ナ：２, ニ：３
(1)では、$x$の範囲は特に指定されてない。
なので、定義域はすべての実数だ。
よって、$ 3x+\dfrac{2}{3}\pi$はすべての実数をとる。
$ 3x+\dfrac{2}{3}\pi$がすべての実数のとき、
$-1\leqq\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\leqq 1$
なので、
$-3\leqq 3\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)\leqq 3$
だから、これに式Ｃを代入すると
$-3\leqq f(x)\leqq 3$
となる。
以上より、$f(x)$の最大値は
$3$
であることが分かる。
解答ヌ：３
ここで、グラフの移動と拡大縮小について復習しておこう。
復習
$y=f(x)$のグラフを①とする。
平行移動 $y=f(x-p)$のグラフは、①を$x$軸方向に$p$平行移動したもの $y-q=f(x)$のグラフは、①を$y$軸方向に$q$平行移動したもの
対称移動 $y=f(-x)$のグラフは、①を$y$軸に関して対称移動したもの $-y=f(x)$のグラフは、①を$x$軸に関して対称移動したもの
拡大 $y=f\left(\dfrac{x}{a}\right)$のグラフは、①を$x$軸方向に$a$倍したもの $\dfrac{y}{b}=f(x)$のグラフは、①を$y$軸方向に$b$倍したもの
縮小 $y=f(ax)$のグラフは、①を$x$軸方向に$\dfrac{1}{a}$にしたもの $by=f(x)$のグラフは、①を$y$軸方向に$\dfrac{1}{b}$にしたもの
である。
グラフの移動と拡大縮小が分かったところで、$y=f(x)$のグラフを考よう。
式Ｃより、このグラフは
$y=3\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)$
とかける。
これをちょっと変形して
$\dfrac{y}{3}=\sin 3\left(x+\dfrac{2}{9}\pi\right)$
とすると、復習より、このグラフは、$y=\sin x$のグラフを
$y$軸方向に$3$倍に拡大
$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$に縮小
$x$軸方向に$-\dfrac{2}{9}\pi$平行移動
したものであることが分かる。
今問われているのは周期なので、必要なのは$x$軸方向の拡大縮小だけだ。
もとの$y=\sin x$のグラフの周期は
$ 2\pi$
だった。
$y=f(x)$のグラフは、これを$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$にしたものなので、周期も$\dfrac{1}{3}$になって
$\dfrac{2}{3}\pi$
である。
解答ネ：２, ノ：３
(2)
$f(x)=t$
に式Ｃを代入すると
$3\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)=t$
より、
$\sin\left(3x+\dfrac{2}{3}\pi\right)=\dfrac{t}{3}$式Ｄ
とかける。
ここで、
$3x+\dfrac{2}{3}\pi=A$
とおくと、式Ｄは
$\sin A=\dfrac{t}{3}$式Ｄ'
となる。
見慣れた三角方程式になった。
あとはいつものように解こう。
まず、$A$の範囲を求める。
$x$の範囲は
$ 0\leqq x\leqq 2\pi$
だけど、これを変形すると
$ 0\leqq 3x\leqq 6\pi$
より
$\dfrac{2}{3}\pi\leqq 3x+\dfrac{2}{3}\pi\leqq 6\pi+\dfrac{2}{3}\pi$
となる。
よって、
$\dfrac{2}{3}\pi\leqq A\leqq 6\pi+\dfrac{2}{3}\pi$
である。
$ 2\pi$で円を一周だから、$ 6\pi$は３周分。
つまり、$A$の範囲は、
$\dfrac{2}{3}\pi$から始まって３周分
となる。
これを図で表すと、図Ｂができる。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｂ](_image/2B_1_2_02.svg)
$|t| \gt 3$を絶対値を使わずに書くと
$t \lt -3$，$3 \lt t$
である。
この両辺を$3$で割ると
$\dfrac{t}{3} \lt -1$，$1 \lt \dfrac{t}{3}$
なので、式Ｄ'は
$\sin A \lt -1$，$1 \lt \sin A$
となる。
よって、解はないので、
$N=0$
だ。
解答ハ：０
$t=3$のとき、式Ｄ'は
$$
\begin{align}
\sin A&=\dfrac{3}{3}\\
&=1
\end{align}
$$
となる。
この解は、図Ｂの緑の範囲と、直線$y=1$の共通部分にあたる。
図にすると、図Ｃの赤い点だ。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｃ](_image/2B_1_2_03.svg)
図Ｃの赤い点は３個。
なので、
$N=3$
である。
解答ヒ：３
式Ｃより
$$
\begin{align}
f(0)&=3\sin\left(3\cdot 0+\dfrac{2}{3}\pi\right)\\
&=3\sin\dfrac{2}{3}\pi
\end{align}
$$
なので、このとき、式Ｄ'は
$$
\begin{align}
\sin A&=\dfrac{3}{3}\sin\dfrac{2}{3}\pi\\
&=\sin\dfrac{2}{3}\pi
\end{align}
$$
となる。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｄ](_image/2B_1_2_04.svg)
この解は図Ｄの赤い点なので、
$N=7$
だ。
解答フ：７
$|t| \lt 3$かつ$t\neq f(0)$は、図Ｅの青い範囲（境界線を除く）。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｅ](_image/2B_1_2_05.svg)
この範囲で、例えば赤い線のときを考えると、
$N=6$
である。
解答ヘ：６
$t=-3$のとき、解は図Ｆの赤い点だ。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｆ](_image/2B_1_2_06.svg)
なので、
$N=3$
である。
解答ホ：３
別解
三角関数のグラフを描くのが苦じゃなければ、次のような方法がお勧めだ。
(1)で考えたように、$y=f(x)$のグラフは、$y=\sin x$のグラフを
① $y$軸方向に$3$倍に拡大・$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$に縮小して、
② $x$軸方向に$-\dfrac{2}{9}\pi$平行移動したもの
だった。
この考え方でグラフを描く。
① まず、$y=\sin x$のグラフを
$y$軸方向に$3$倍に拡大
$x$軸方向に$\dfrac{1}{3}$に縮小
すると、図Ｇができる。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｇ](_image/2B_1_2_07.svg)
② さらに、図Ｇを
$x$軸方向に$-\dfrac{2}{9}\pi$平行移動
すると、図Ｈになる。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｈ](_image/2B_1_2_08.svg)
図Ｈの赤い曲線が、$y=f(x)$のグラフだ。
いま、$x$の定義域は
$ 0\leqq x\leqq 2\pi$
なので、$y=f(x)$のグラフと定義域は図Ｉのようになる。
この図で、黒い実線と、直線
$y=t$
の共有点が $f(x)=t$となる点だ。
![大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｉ](_image/2B_1_2_09.svg)
$|t| \gt 3$のとき、
$y=t$のグラフは、$3$より上 または $-3$より下にある。
なので、黒い実線との共有点はない。
解答ハ：０
$t=3$のとき、
$y=t$のグラフは、図Ｉの青い線。
黒い実線との共有点は、青い点の３個だ。
解答ヒ：３
$t=f(0)$のとき、
$y=t$のグラフは、図Ｉの赤い線。
これと黒い実線との共有点は７個。
解答フ：７
$|t| \lt 3$かつ$t\neq f(0)$のとき、
$y=t$のグラフは、例えば図Ｉのオレンジの線。
なので、黒い実線との共有点は６個ある。
解答ヘ：６
$t=-3$のとき、
$y=t$のグラフは、図Ｉの紫の線。
これと黒い実線との共有点は３個だ。
解答ホ：３