大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅠA 第5問 解説

まず、$\mathrm{PA}$から。

図A
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図A

図Aのような状態で、赤い線分の長さを問われている。
見るからに、方べきの定理だ。

方べきの定理より、
$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$式A
とかける。

$\mathrm{PA}=x$
とおくと、上の式は
$x\cdot(x+2)=2\cdot 12$
より
途中式 $x^{2}+2x-24=0$
$(x+6)(x-4)=0$
となるけど、$0 \lt x$なので
$x=4$
である。

解答ア:4

イ~ク

図B
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図B

図Bのように、$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$,$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とする。
$\mathrm{AB}$を直径とする円(図Bの青い円)と$\mathrm{CD}$を直径とする円(図Bの緑の円)が点$\mathrm{E}$で接するという。

このとき、
$\mathrm{ME}$は青い円の半径なので、$1$ $\mathrm{NE}$は緑の円の半径なので、$5$ だから、
$\mathrm{MN}=\mathrm{ME}+\mathrm{NE}$
$\mathrm{MN}$$=1+5$
$\mathrm{MN}$$=6$
となる。

解答イ:6


さらに、$\mathrm{PE}$(図Bの赤い線分の長さ)を求める。

センター試験でこのタイプの問題が出たのは多分初めてだ。
解き方を知っていれば簡単なんだけど、知らないと悩むかも知れない。

ポイントは、$\mathrm{PE}$は青い円と緑の円の共通接線である、ということ。

性質

大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 復習図

右の図で、点$\mathrm{T}$は2つの円の接点とする。
このとき、 $a \cdot b = c \cdot d$ならば、赤い線は2つの円の共通接線である。 赤い線が円の接線なら、$a \cdot b = c \cdot d$である。

センター試験を解くだけなら、これだけ知っていればいい。
一応理由を説明しておくけど、必要ないと思う人は読み飛ばしてもらってかまわない。

理由

もし、$\mathrm{PE}$が二つの円の共通接線でなければ、図Cのどちらかの図のようになる。
図中、点$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{R}$は、それぞれ青い円,緑の円と直線$\mathrm{PE}$との交点だ。

図C
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図C

どちらの図においても、方べきの定理より、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{P}\mathrm{A}\cdot \mathrm{P}\mathrm{B}=\mathrm{P}\mathrm{Q}\cdot \mathrm{P}\mathrm{E}\\
\mathrm{P}\mathrm{C}\cdot \mathrm{P}\mathrm{D}=\mathrm{P}\mathrm{E}\cdot \mathrm{P}\mathrm{R}
\end{array}\right.$式B
である。

ところが、$\mathrm{PQ}\neq \mathrm{PR}$なので、
$\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PE}\neq \mathrm{PE}\cdot \mathrm{PR}$
だから、式Bより
$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}\neq \mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$
となってしまい、話がおかしくなる。

こんなことになってしまった原因は、$\mathrm{PE}$が二つの円の共通接線でないと考えて、図Cを描いたため。

以上より、$\mathrm{PE}$は二つの円の共通接線である。

逆の説明は省略。

性質より、$\mathrm{PE}$は青い円と緑の円の接線なので、もう一度方べきの定理だ。
使うのは青い円でも緑の円でもいいんだけど、ここでは青い円を使っておく。

方べきの定理より、
$\mathrm{PE}^{2}=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$
      $=4\cdot 6$
なので、
$\mathrm{PE}=\sqrt{4\cdot 6}$
$\mathrm{PE}$$=2\sqrt{6}$
である。

解答ウ:2, エ:6


次は、$\cos\angle \mathrm{MPN}$だ。
△$\mathrm{PMN}$は三辺の長さが分かっているので、この三角形で余弦定理を使おう。

△$\mathrm{PMN}$に余弦定理を使うと
$\mathrm{MN}^{2}=\mathrm{PM}^{2}+\mathrm{PN}^{2}-2\mathrm{PM}\cdot \mathrm{PN}\cos\angle \mathrm{MPN}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$6^{2}=5^{2}+7^{2}-2\cdot 5\cdot 7\cos\angle \mathrm{MPN}$
より
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{MPN}=\frac{5^{2}+7^{2}-6^{2}}{2\cdot 5\cdot 7}$
途中式 $\displaystyle \cos\angle \mathrm{MPN}$$\displaystyle =\frac{38}{2\cdot 5\cdot 7}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{MPN}$$\displaystyle =\frac{19}{5\cdot 7}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{MPN}$$\displaystyle =\frac{19}{35}$
となる。

解答オ:1, カ:9, キ:3, ク:5

アドバイス

円の接線は、接点と中心を通る直線に直交する。
なので、
$\mathrm{PE}$⊥$\mathrm{MN}$
である。

ケ~セ

図がややこしくなってきた。
ちょっと整理して、ケコを求めるのに必要な部分だけ描き出すと、図Dができる。

図D
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図D

まず、$\mathrm{PF}$から。
図Dの緑の直角三角形を使うのは想像がつくけど、$\mathrm{FM}$がすぐには分からないので、三平方の定理はとりあえず除外する。

考えてみると、直前に求めたのは$\cos\angle \mathrm{MPN}$だった。
これを使う方向でいってみよう。

図Dの緑の三角形は直角三角形なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{F}}{\mathrm{P}\mathrm{M}}=\cos\angle \mathrm{MPN}$
とかける。
これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{F}}{5}=\frac{19}{35}$
より
$\displaystyle \mathrm{PF}=\frac{19}{7}$
となる。

解答ケ:1, コ:9, サ:7

同様に、斜線の三角形から
$\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{G}}{\mathrm{P}\mathrm{N}}=\cos\angle \mathrm{MPN}$
より
$\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{G}}{7}=\frac{19}{35}$
$\displaystyle \mathrm{PG}=\frac{19}{5}$
である。

解答シ:1, ス:9, セ:5

別解

手間がかかるのでお薦めではないけど、$\mathrm{FM}$や$\mathrm{GN}$を求めて三平方の定理を使うことも可能ではある。

図E
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図E

図Eの赤い三角形の面積を$S$とすると、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ
$S$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{MN}\cdot \mathrm{PE}$
より
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{6}$
$S$$=6\sqrt{6}$
である。

同じ$S$を、$\mathrm{PN}$を底辺として求めると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{PN}\cdot \mathrm{FM}$
$S$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \mathrm{FM}$
なので、
$\displaystyle \frac{7}{2}\mathrm{FM}=6\sqrt{6}$
だから、
$\displaystyle \mathrm{FM}=\frac{2\cdot 6\sqrt{6}}{7}$
である。

図Eの緑の直角三角形に三平方の定理を使うと、
$\mathrm{PF}^{2}+\mathrm{FM}^{2}=\mathrm{PM}^{2}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \mathrm{PF}^{2}+\left(\frac{2\cdot 6\sqrt{6}}{7}\right)^{2}=5^{2}$
より
途中式 $\displaystyle \mathrm{PF}^{2}=5^{2}-\left(\frac{2\cdot 6\sqrt{6}}{7}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{PF}^{2}$$\displaystyle =\frac{7^{2}\cdot 5^{2}-12^{2}\cdot 6}{7^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{PF}^{2}$$\displaystyle =\frac{361}{7^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{PF}^{2}$$\displaystyle =\frac{19^{2}}{7^{2}}$
となるから、
$\displaystyle \mathrm{PF}=\frac{19}{7}$
である。

解答ケ:1, コ:9, サ:7

同様に、$S$を$\mathrm{PM}$を底辺として表すと$\mathrm{GN}$が分かる。
これを使って、斜線の三角形に三平方の定理を用いると、
$\displaystyle \mathrm{PG}=\frac{19}{5}$
が求められる。
実際の計算は省略する。

解答シ:1, ス:9, セ:5

ソ~ツ

図F
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図F

これまでに分かったことを整理すると、図Fができる。
図が複雑になってきたので、必要な部分、つまり△$\mathrm{PMN}$だけ取り出して拡大してみた。

今問われているのは、図Fの赤い線分の長さだ。

解法は何通りか考えられるけれど、ここでは
相似を使った解法 メネラウスの定理による解法 方べきの定理を使った解法 を説明しておく。

相似を使った解法

図G
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図G

図Gで、斜線の三角形と緑の三角形は相似だ。
なので、
$\mathrm{PJ}:\mathrm{PG}=\mathrm{PM}:\mathrm{PE}$
より
$\mathrm{PJ}\cdot \mathrm{PE}=\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PM}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \mathrm{PJ}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{19}{5}\cdot 5$
より、$\mathrm{PJ}$は
$\displaystyle \mathrm{PJ}=\frac{19}{2\sqrt{6}}$
$\displaystyle \mathrm{PJ}$$\displaystyle =\frac{19\sqrt{6}}{12}$
であることが分かる。

よって、求める$\mathrm{JE}$は、
$\mathrm{JE}=\mathrm{PE}-\mathrm{PJ}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =2\sqrt{6}-\frac{19\sqrt{6}}{12}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =\frac{(12\cdot 2-19)\sqrt{6}}{12}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =\frac{5\sqrt{6}}{12}$
である。

解答ソ:5, タ:6, チ:1, ツ:2

アドバイス

△$\mathrm{PFJ}$と△$\mathrm{PEN}$を使っても、同様に解くことができる。

メネラウスの定理による解法

図H
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図H

図Hの緑の三角形と青い直線を使ってメネラウスの定理を考えると、次のような解法になる。

メネラウスの定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{M}}{\mathrm{P}\mathrm{G}}\cdot\frac{\mathrm{N}\mathrm{E}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}\cdot\frac{\mathrm{J}\mathrm{P}}{\mathrm{J}\mathrm{E}}=1$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \frac{5-\frac{19}{5}}{\frac{19}{5}}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{\mathrm{J}\mathrm{P}}{\mathrm{J}\mathrm{E}}=1$
より
途中式 $\displaystyle \frac{6}{19}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{\mathrm{J}\mathrm{P}}{\mathrm{J}\mathrm{E}}=1$
$\displaystyle \frac{5}{19}\cdot\frac{\mathrm{J}\mathrm{P}}{\mathrm{J}\mathrm{E}}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{J}\mathrm{P}}{\mathrm{J}\mathrm{E}}=\frac{19}{5}$
なので
$\mathrm{JE}:\mathrm{JP}=5:19$
であることが分かる。

よって、
$\mathrm{JE}:\mathrm{PE}=\mathrm{JE}:\mathrm{JE}+\mathrm{JP}$
$\mathrm{JE}:\mathrm{PE}$$=5:5+19$
$\mathrm{JE}:\mathrm{PE}$$=5:24$
となるから、
$\displaystyle \mathrm{JE}=\frac{5}{24}\mathrm{PE}$
だ。

これに$\mathrm{PE}$の値を代入して、
$\displaystyle \mathrm{JE}=\frac{5}{24}\cdot 2\sqrt{6}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =\frac{5\sqrt{6}}{12}$
である。

解答ソ:5, タ:6, チ:1, ツ:2

アドバイス

△$\mathrm{PEN}$と直線$\mathrm{FM}$を使っても、同様に解くことができる。

方べきの定理を使った解法

図I
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅠA第5問 解説図I

図Iの緑の四角形は$\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{G}=180^{\circ}$なので、図のようにオレンジの円に内接する。
なので、青い線分$+$赤い線分で方べきの定理を使うと、
$\mathrm{PJ}\cdot \mathrm{PE}=\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PM}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \mathrm{PJ}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{19}{5}\cdot 5$
より、$\mathrm{PJ}$は
$\displaystyle \mathrm{PJ}=\frac{19}{2\sqrt{6}}$
$\displaystyle \mathrm{PJ}$$\displaystyle =\frac{19\sqrt{6}}{12}$
であることが分かる。

よって、求める$\mathrm{JE}$は、
$\mathrm{JE}=\mathrm{PE}-\mathrm{PJ}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =2\sqrt{6}-\frac{19\sqrt{6}}{12}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =\frac{(12\cdot 2-19)\sqrt{6}}{12}$
$\displaystyle \mathrm{JE}$$\displaystyle =\frac{5\sqrt{6}}{12}$
である。

解答ソ:5, タ:6, チ:1, ツ:2

アドバイス

四角形$\mathrm{ENFJ}$も円に内接するので、線分$\mathrm{PE}$と線分$\mathrm{PN}$を使っても、同様に解くことができる。