大学入試センター試験 2020年(令和2年) 追試 数学ⅡB 第1問 [1] 解説

(1)

初めのうちは説明は不要だと思う。
どんどん解いてゆこう。


$y=-2^{2x}+2^{x+4}-48$
を変形すると
$y=-(2^{x})^{2}+2^{4}\cdot 2^{x}-48$
とかける。

いま、
$2^{x}=t$式A
とおくので、上の式は
$y=-t^{2}+16t-48$式B
と表せる。

これを平方完成すると
$y=-(t^{2}-16t+8^{2}-8^{2})-48$
$y$$=-(t-8)^{2}+16$式B'
となる。

解答ア:-, イ:8, ウ:1, エ:6

よって、縦軸を$y$,横軸を$t$とすると、この関数のグラフは図Aのような放物線だ。

図A
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第1問[1] 解説図A

$x=1$のとき、$t$は
$t=2^{1}$
$t$$=2$

これを式B'に代入すると、$y$は
$y=-(2-8)^{2}+16$
$y$$=-20$
となる。

解答オ:-, カ:2, キ:0


$1\leqq x$のとき、$2$は$1$より大きいので
$2^{1}\leqq 2^{x}$
とかけるから、
$2\leqq t$式C
と表せる。

これを定義域として図Aに書き込むと、図Bができる。
定義域は、図中の緑の部分だ。

図B
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第1問[1] 解説図B

図Bを見ると、緑の範囲に放物線の頂点が含まれている。
なので、$y$の最大値は、頂点の
$t=8$のとき$16$
である。

この
$t=8$
を、$x$の値にもどす。

式Aに$t=8$を代入して、
$2^{x}=8$
より、$t=8$のときの$x$の値は
$x=3$
となる。

以上より、$y$の最大値は、
$x=3$のとき$16$
である。

解答ク:3, ケ:1, コ:6

(2)

$1 \lt k$とし、$x$の定義域を$1\leqq x\leqq k$とする。
このとき、
$2^{1}\leqq x^{k}\leqq 2^{k}$
より
$2^{1}\leqq t\leqq 2^{k}$
となるから、図Aに定義域を書き込むと図Cのようになる。
定義域の左端は$2$だけど、右端の$2^{k}$はどんな数かはまだ分からない。

図C
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第1問[1] 解説図C

今問われているのは、$y$の最小値が$-20$である$k$の範囲だ。

図Cより、$t=2$は定義域に必ず含まれる。
つまり、図中の青い点$(2,-20)$は定義域に含まれる。
よって、グラフ中に$y$が$-20$となる点が必ず存在する。

あとは、定義域に$y$が$-20$よりも小さくなる部分、つまり図中のオレンジの部分と赤い部分が含まれないようにすればよい。

$1 \lt k$なので、オレンジの部分が定義域に含まれないのは明らか。 赤い部分が定義域に含まれないためには、定義域の右端が赤丸よりも右でなければよい。
つまり、図C中の$a$を用いて、
$2^{k}\leqq a$式D
であればよい。

というわけで、$a$の値を求めよう。


$a$は、$y=-20$のときの$t$座標。
放物線の式に$y=-20$を代入して2次方程式を解いてもいいんだけど、ここではグラフから考える。

放物線は軸に関して対称なので、$a$と$2$の中点が$8$だ。
なので、
$\displaystyle \frac{a+2}{2}=8$
より
$a=14$
である。

これを式Dに代入すると、$k$の範囲は
$2^{k}\leqq 14$式E
とかける。

この式を変形して、問題文中の
$1 \lt k\leqq\log_{2}$サシ
の形にする。
$1 \lt k$の部分は問題文の指示通りなので、
$k\leqq\log_{2}$サシ
の部分だけ考えよう。

式D'の両辺の、底が$2$の対数をとると、
$\log_{2}2^{k}\leqq\log_{2}14$
とかける。

これを変形して、求める$k$の範囲は
$k\log_{2}2\leqq\log_{2}14$
より、$1 \lt k$とあわせて、
$1 \lt k\leqq\log_{2}14$式E'
である。

解答サ:1, シ:4


次に、式E'の範囲に含まれる最大の整数を求めよという。
いろいろ考えるより、手を動かしてやってみた方が早い。
そのとき、式E'を使うよりも、対数にする前の式Eを使う方が楽だ。

$k=3$のとき、$2^{k}=8$なので、式Eの範囲に含まれる。 $k=4$のとき、$2^{k}=16$なので、式Eの範囲からはずれる。 から、求める最大の整数は
$3$
だ。

解答ス:3

(3)

図D
大学入試センター試験2020年追試 数学ⅡB第1問[1] 解説図D

$y=0$になるのは、図Dのオレンジと赤の2つの点。
この$t$座標を求めるには、放物線の式(式B)に$y=0$を代入した
$-t^{2}+16t-48=0$式F
を解けばよい。

式Fを解くと、
$t^{2}-16t+48=0$
$(t-4)(t-12)=0$
より
$t=4,12$式F'
となる。

これを$x$で表す。
$t=2^{x}$なので、式F'は
$2^{x}=4,12$
と表せる。


底の$2$は$1$より大きいので、小さい方の$x$は
$2^{x}=4$
より
$x=2$
だ。

解答セ:2


大きい方は
$2^{x}=12$
の両辺の対数をとって、
$\log_{2}2^{x}=\log_{2}12$
より
$x\log_{2}2=\log_{2}4+\log_{2}3$
$x=2+$$\log_{2}3$式G
とかける。

式Gの赤い部分の底を$10$に変換すると
$\displaystyle \log_{2}3=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}$
とかける。

問題文より
$\log_{10}2=0.3010$ $\log_{10}3=0.4771$ なので、
$\displaystyle \log_{2}3=\frac{0.4771}{0.3010}$
となるから、式Gは
$x=2+\displaystyle \frac{0.4771}{0.3010}$
と表せる。

これを計算して、
$ x\doteqdot 3.58\ldots$
より、正しい選択肢は

だ。

解答ソ:6