大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

(1)

$c=1$のとき、式①は
$2x^{2}+(4\cdot 1-3)x+2\cdot 1^{2}-1-11=0$
より
$2x^{2}+x-10=0$
となる。

この式の左辺をたすきがけにより因数分解すると

$2x$$+5$$+5x$
$x$$-2$$-4x$
$2x^{2}$$-10$$+x$

より
$(2x+5)(x-2)$
とかける。

解答ア:2, イ:5, ウ:2

よって、①の解は
$x=-\displaystyle \frac{5}{2}$,$2$
である。

(2)

式①に解の公式を使うと、
$x=\displaystyle \frac{-(4c-3)\pm\sqrt{(4c-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(2c^{2}-c-11)}}{2\cdot 2}$
途中式 より
$x=\displaystyle \frac{-(4c-3)\pm\sqrt{(16c^{2}-24c+9)-(16c^{2}-8c-88)}}{2\cdot 2}$
$x$$\displaystyle =\frac{-(4c-3)\pm\sqrt{-16c+97}}{2\cdot 2}$式A
とかける。

$c=2$のとき、式Aは
$x=\displaystyle \frac{-(4\cdot 2-3)\pm\sqrt{-16\cdot 2+97}}{2\cdot 2}$
となるから、これを整理して、①の解は
$x=\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{65}}{4}$
である。

解答エ:5, オ:6, カ:5, キ:4


解のうち大きい方を$\alpha$とすると
$\displaystyle \alpha=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$
なので、
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}=\frac{5}{\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}$
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4}{-5+\sqrt{65}}$
と表せる。

この分母を有理化して、
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}=\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{(-5+\sqrt{65})(5+\sqrt{65})}$
途中式 $\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{-25+65}$
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 4\cdot(5+\sqrt{65})}{40}$
$\displaystyle \frac{5}{\alpha}$$\displaystyle =\frac{5+\textcolor{red}{\sqrt{65}}}{2}$式B
である。

解答ク:5, ケ:6, コ:5, サ:2


式Bの赤い部分を考えると、
$64 \lt 65 \lt 81$
なので
$8^{2} \lt 65 \lt 9^{2}$
より
$8 \lt \sqrt{65} \lt 9$
とかける。

この式の各辺に$5$をたして、
$5+8 \lt 5+\sqrt{65} \lt 5+9$
より
$13 \lt 5+\sqrt{65} \lt 14$

各辺を$2$で割って、
$\displaystyle \frac{13}{2} \lt \frac{5+\sqrt{65}}{2} \lt \frac{14}{2}$
より
$6.5 \lt \displaystyle \frac{5+\sqrt{65}}{2} \lt 7$
と表せる。

これに式Bを代入すると
$6.5 \lt \displaystyle \frac{5}{\alpha} \lt 7$
とかけるから、
$m \lt \displaystyle \frac{5}{\alpha} \lt m+1$
を満たす整数$m$は
$6$
である。

解答シ:6

(3)

式Aより、①の解は
$x=\displaystyle \frac{- \textcolor{blue}{(4c-3)} \pm \textcolor{red}{\sqrt{-16c+97}}}{\textcolor{green}{2\cdot 2}}$
だった。
これが異なる二つの有理数である場合を求める。

この解の
緑の部分は有理数 $c$は整数なので、青い部分は有理数 だから、赤い部分が有理数であれば、解$x$は有理数だ。

つまり、赤い部分の√の中の
$-16c+97$式C
が、$0$でない整数の2乗になればよい。


$c$は正の整数なので、$c$の最小値は$c=1$だ。
よって、式Cは
$-16\cdot 1+97=81$式D
以下の値をとる。

$0$でない整数の2乗である数のうち、$81$以下のものは

$1^{2}=1$
$2^{2}=4$
$3^{2}=9$
$4^{2}=16$
$5^{2}=25$
$6^{2}=36$
$7^{2}=49$
$8^{2}=64$
$9^{2}=81$

の9つある。
式Cがこの9つの値になるとき、①の解は有理数だ。
でも、式Cは偶数と奇数の和なので、必ず奇数。
よって、赤い4つは不適。
黒い5つから、$c$が整数になるものを探そう。


式C$=1$
のとき、
$-16c+97=1$
より
$16c=97-1$
$16c$$=96$
$c=6$
で条件に合う。
式C$=9$
のとき、
$-16c+97=9$
より
$16c=97-9$
$16c$$=96$
$c=\displaystyle \frac{11}{2}$
と分数になるので不適。

式C$=25$
のとき、
$-16c+97=25$
より
$16c=97-25$
$16c$$=72$
$c=\displaystyle \frac{9}{2}$
と分数になるので不適。
式C$=49$
のとき、
$-16c+97=49$
より
$16c=97-49$
$16c$$=48$
$c=3$
で条件に合う。

式C$=81$
のとき、式Dより
$c=1$
で条件に合う。

以上より、求める整数$c$の個数は、$c=6$,$3$,$1$ の3個ある。

解答ス:3