大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠＡ 第４問 解説
(1)
以下の解説中では、
時計回りに移動させることを「進む」と書き、移動量を正の値で
反時計回りに移動することを「戻る」と書き、移動量を負の値で
表すことにする。
直感的に、２回進んで３回戻れば、
$5\times 2-3\times 3=1$
より、$\mathrm{P}_{0}$から$\mathrm{P}_{1}$に移動すると思いつく。
解答ア：２, イ：３
共通テスト本番ではこれでいいんだけど、「直感的に思いつく」なんて数学じゃないし、思いつかないときもあるから、もうちょっと考えておこう。
５回移動するので、石は
最も進んだときは
$5\times 5=25$
最も戻ったときは
$-3\times 5=-15$
移動する。
この範囲で$\mathrm{P}_{0}$から$\mathrm{P}_{1}$に移動する方法は、図Ａのように３パターンある。
以下の図では、$\mathrm{P}_{0}$を緑の点で表すことにする。
ここからは、
解法１
連立方程式を使った方法
解法２
頭を使わずに手を使う方法おすすめ
の、２つの解法を説明する。
解法１
進む回数を$x$，戻る回数を$y$，石の移動量を$n$とすると、連立方程式
| $x+y=5$ | 式Ａ | |
| $5x-3y=n$ | 式Ｂ |
ができる。
式Ａより
$y=5-x$
これを式Ｂに代入すると
$5x-3(5-x)=n$
より
$8x=n+15$
とかける。
この式に図Ａの３つのパターンを当てはめると、
パターンＡ
$n=16$なので、
$8x=16+15$
$8x$$=31$
パターンＢ
$n=1$なので、
$8x=1+15$
$8x$$=16$
$x=2$
パターンＣ
$n=-14$なので、
$8x=-14+15$
$8x$$=1$
となる。
パターンＡ，パターンＣは、$x$が整数にならないので不適。
答えは、パターンＢの
$x=2$
である。
また、このときの$y$は、式Ａに$x=2$を代入して、
$y=3$
となる。
以上より、５回の移動で$\mathrm{P}_{0}$から$\mathrm{P}_{1}$に動くのは、
偶数が２回、奇数が３回
出た場合だけである。
解答ア：２, イ：３
アドバイス
以上、真っ正直に解いてみた。
けれど、問題文の先を読むと
「不定方程式$5x-3y=1$の整数解になっている」
とある。
なので、アイを解く前にこれを読んでいれば、図ＡのパターンＢだけ考えればよいことが分かる。
解法２
この問題は頭を使うよりも手を使った方が早く解ける。つまり、全部書く。
５回全て奇数の目が出た場合、５回戻るので、移動量は
$5\times(-3)=-15$
だ。
５回中１回偶数のときは、５回全て奇数のときと比べて、
戻るのが１回減るので、
$-3$が１回分なくなる
進むのが１回増えるので、
$+5$が１回分増える
から、移動量は$8$増える。
なので、５回全て奇数のときの移動量に$8$をたして、
$-15+8=-7$
移動する。
同様に、５回のうち２回偶数のときには、$-7$に$8$をたして、
$-7+8=1$
移動する。
こうして、全て偶数の場合の
$5\times 5=25$
になるまで$8$をたし続けると、表Ｂができる。
| 偶数の回数 | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 移動量 | $-15$ | $-7$ | $1$ | $9$ | $17$ | $25$ |
表Ｂで、図Ａの３つのパターンの
$n=16,1,-14$
を探すと、当てはまるのは赤い部分のひとつだけ。
以上より、５回の移動で$\mathrm{P}_{0}$から$\mathrm{P}_{1}$に動くのは、
偶数が２回、奇数が３回
出た場合だけである。
解答ア：２, イ：３
アイより、
$+5$を２回
$-3$を３回
の移動で$1$動くので、
$5\times 2-3\times 3=1$式Ｃ
とかける。
なので、アイは、１次不定方程式
$5x-3y=1$
の整数解のひとつである。
(2)
不定方程式を解くときは、まず解を一組見つける。
けれど、この問題では、すでに(1)で
$5x-3y=1$
の解のひとつが分かっているので、これを使おう。
式Ｃより
$5\times 2-3\times 3=1$式Ｃ
だけど、この両辺を$8$倍すると
$5\times 2\cdot 8-3\times 3\cdot 8= 8$式Ｃ'
となるので、①の解のひとつは
| $x=2\cdot 8$ | |
| $y=3\cdot 8$ |
だ。
あとはいつも通りの作業をする。
①から式Ｃ'を辺々引くと、
| $5x$ | $-3y$ | $=$ | $8$ | |
| $-)$ | $5\times 2\cdot 8$ | $-3\times3\cdot 8$ | $=$ | $8$ |
| $5(x-2\cdot 8)$ | $-3(y-3\cdot 8)$ | $=$ | $0$ |
となるから、
$5(x-2\cdot 8)=3(y-3\cdot 8)$式Ｄ
とかける。
ここで、$5$と$3$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$k$を整数として
| $x-2\cdot 8=3k$ | |
| $y-3\cdot 8=5k$ |
でなければならない。
以上より、①の解は、
| $x=2\cdot 8+3k$ | （$k$は整数）式Ｅ | |
| $y=3\cdot 8+5k$ |
と表せる。
解答ウ：３, エ：５
この解のうち、
$0\leqq y \lt 5$
を満たすものを探す。
まず、この$y$の範囲を$k$の範囲に変えよう。
$y$の範囲に式Ｅを代入すると、
$0\leqq 3\cdot 8+5k \lt 5$
より
$-24\leqq 5k \lt -19$
$-\displaystyle \frac{24}{5}\leqq k \lt -\frac{19}{5}$
とかける。
いま、$k$は整数なので、これを満たす$k$は
$k=-4$
のひとつだけ。
これを式Ｅに代入して、求める解は
$x=2\cdot 8+3\cdot(-4)$
$x$$=4$
$y=3\cdot 8+5\cdot(-4)$
$y$$=4$
である。
解答オ：４, カ：４
このとき、さいころを投げる回数は
$4+4=8$
回になる。
解答キ：８
(3)
はじめに、問題文の
（＊）
石を反時計回りまたは時計回りに$15$個先の点に移動させると元の点に戻る。
について考えておこう。
偶数が$3$回以上出た場合、そのうちの$3$回は出発点に戻るのに使われているから、
偶数$x+3p$回の移動は、偶数$x$回の移動と同じ
だといえる。性質Ａ
同様に、奇数が$5$回以上出た場合、そのうちの$5$回は出発点に戻るのに使われているから、
奇数$y+5q$回の移動は、奇数$y$回の移動と同じ
だといえる。性質Ｂ
（ただし、$p$，$q$は整数とする）
性質Ａ，Ｂが分かったところで問題を解くんだけれど、ここでは
解法１
(2)の結果を使った方法おすすめ
解法２
頭を使わずに手を使う方法
の、２つの解法を説明する。
その他、１次不定方程式や連立方程式を使った方法も考えられるけど、遠回りなので省略する。
解法１
(2)より、
偶数が$4$回、奇数が$4$回式Ｆ
の移動で$\mathrm{P_{8}}$に到達できる。
性質Ａより、
偶数$4$回の移動は、偶数$4-3$回の移動と同じ
なので、式Ｆの移動は
偶数が$1$回、奇数が$4$回
の移動と同じだ。
よって、さいころの目が
偶数が$1$回、奇数が$4$回、合計$5$回
のとき、$8$回より少ない回数で$\mathrm{P}_{8}$に移動できる。
解答ク：１, ケ：４, コ：５
解法２
移動回数が$1$回～$7$回の場合を、(1)の解法２の方法で全部書くと、表Ｃができる。
| 偶数の回数 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | ||
| 移動回数 | $1$ | $-3$ | $5$ | ||||||
| $2$ | $-6$ | $2$ | $10$ | ||||||
| $3$ | $-9$ | $-1$ | $7$ | $15$ | |||||
| $4$ | $-12$ | $-4$ | $4$ | $12$ | $20$ | ||||
| $5$ | $-15$ | $-7$ | $1$ | $9$ | $17$ | $25$ | |||
| $6$ | $-18$ | $-10$ | $-2$ | $6$ | $14$ | $22$ | $30$ | ||
| $7$ | $-21$ | $-13$ | $-5$ | $3$ | $11$ | $19$ | $27$ | $35$ | |
かなりの作業量に見えるかも知れないけれど、$8$をたし続けるだけなので、表をつくるのに１分もかからない。
$15$以上と$-15$以下はムダに１周以上回っているので、最小移動回数を考えるときは無視していい。
表Ｃの考えなくていい数を消すと、表Ｄになる。
| 偶数の回数 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | ||
| 移動回数 | $1$ | $-3$ | $5$ | ||||||
| $2$ | $-6$ | $2$ | $10$ | ||||||
| $3$ | $-9$ | $-1$ | $7$ | ||||||
| $4$ | $-12$ | $-4$ | $4$ | $12$ | |||||
| $5$ | $-7$ | $1$ | $9$ | ||||||
| $6$ | $-10$ | $-2$ | $6$ | $14$ | |||||
| $7$ | $-13$ | $-5$ | $3$ | $11$ | |||||
ここまできたら、ついでに表中の負の数に$15$をたして、点の番号にしてしまおう。
その方が見やすいし。
| 偶数の回数 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
| 移動回数 | $1$ | $12$ | $5$ | |||
| $2$ | $9$ | $2$ | $10$ | |||
| $3$ | $6$ | $14$ | $7$ | |||
| $4$ | $3$ | $11$ | $4$ | $12$ | ||
| $5$ | $8$ | $1$ | $9$ | |||
| $6$ | $5$ | $13$ | $6$ | $14$ | ||
| $7$ | $2$ | $10$ | $3$ | $11$ | ||
いま考えているのは、$\mathrm{P_{8}}$への移動だった。
なので、表Ｅで$8$を探すと、当てはまるのは赤い部分だ。
このとき、表Ｅより、
移動回数が$5$
偶数の回数が$1$
なので、
奇数の回数は$4$
である。
解答ク：１, ケ：４, コ：５
(4)
最後は、選択肢の
$\mathrm{P}_{10}$～$\mathrm{P}_{14}$（図Ｆ中の赤い点）
のうち、最小回数が最も大きいものを探す問題だ。
(4)では、次の３種類の解法を説明する。
解法１
１次不定方程式を使った方法
解法２
頭を使わずに手を使う方法おすすめ
解法３
推論で解く方法
解法１
まず、最初に作った
$5x-3y=n$式Ｂ
の解を一組見つける。
式Ｃの両辺を$n$倍すると、
$5\times 2n-3\times 3n=n$
なので、式Ｂの解のひとつは
| $x=2n$ | 式Ｇ | |
| $y=3n$ |
である。
式Ｇを使って$\mathrm{P}_{10}$～$\mathrm{P}_{14}$の最小回数を求めるんだけど、その前にもうちょっと整理しておこう。
例えば$\mathrm{P_{7}}$に移動する場合を考えると、
式Ｇに$n=7$を代入して、
偶数が$14$回，奇数が$21$回
出ればよいことが分かる。
この回数を性質Ａ，Ｂを使って減らすと、
偶数の回数の$14$から、$14$以下で最大の$3$の倍数である$12$を引いて、
$14-12=2$
より、
偶数$2$回
奇数の回数の$21$から、$21$以下で最大の$5$の倍数である$20$を引いて、
$21-20=1$
より、
偶数$1$回
で移動できることが分かる。
この作業は、考えてみれば
偶数の回数を$3$で割った余り
奇数の回数を$5$で割った余り
を求めているのと同じだ。
以上より、式Ｇで$x$，$y$を求めて、
$x$を$3$で割った余りが、偶数の回数
$y$を$5$で割った余りが、奇数の回数
であることが分かる。性質Ｃ
性質Ｃを使って、$\mathrm{P}_{10}$～$\mathrm{P}_{14}$の最小回数を求めよう。
まず、$x$，$y$から。
$\mathrm{P}_{10}$～$\mathrm{P}_{14}$への移動$n$は
| 点 | $\mathrm{P}_{10}$ | $\mathrm{P}_{11}$ | $\mathrm{P}_{12}$ | $\mathrm{P}_{13}$ | $\mathrm{P}_{14}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $n$ | $10$ | $11$ | $12$ | $13$ | $14$ |
なので、これを式Ｇに代入すると、$x$，$y$は表Ｇのようになる。
| 点 | $\mathrm{P}_{10}$ | $\mathrm{P}_{11}$ | $\mathrm{P}_{12}$ | $\mathrm{P}_{13}$ | $\mathrm{P}_{14}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $20$ | $22$ | $24$ | $26$ | $28$ |
| $y$ | $30$ | $33$ | $36$ | $39$ | $42$ |
性質Ｃより、表Ｇの $x$を$3$で割った余り（偶数の回数） $y$を$5$で割った余り（奇数の回数） を求めて、偶数と奇数の和、つまり最小回数を計算すると、表Ｈができる。
| 点 | $\mathrm{P}_{10}$ | $\mathrm{P}_{11}$ | $\mathrm{P}_{12}$ | $\mathrm{P}_{13}$ | $\mathrm{P}_{14}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 偶数の回数 | $2$ | $1$ | $0$ | $2$ | $1$ |
| 奇数の回数 | $0$ | $3$ | $1$ | $4$ | $2$ |
| 最小回数 | $2$ | $4$ | $1$ | $6$ | $3$ |
表Ｈより、最小回数が最も大きいのは
$\mathrm{P}_{13}$
で、そのときの移動回数は、
$6$回
である。
解答サ：３, シ：６
解法１の別解
あんまりお勧めじゃないけれど、$\mathrm{P}_{10}$～$\mathrm{P}_{14}$の最小回数を求めずに解くこともできる。
整数を
$3$で割った余りは$2$以下
$5$で割った余りは$4$以下
だ。
このことと 性質Ｃより、最小回数の
偶数の回数は$2$以下
奇数の回数は$4$以下
なので、すべての点の最小回数は
$6$以下
であることが分かる。
よって、いま求めている点の最小回数シは
シ$\leqq 6$
となる。
また、(3)で求めたように、$\mathrm{P}_{8}$の最小回数が$5$だった。
いま問われている点サの最小回数は$\mathrm{P}_{8}$より大きいはずだから、
$5 \lt $シ
である。
以上より、
$5 \lt $シ$\leqq 6$
なので、
シ$=6$
であることが分かる。
解答シ：６
ということで、最小回数が$6$になる点を探す。
最小回数が$6$になるのは、性質Ｃより、式Ｇの
| $x$を$3$で割った余りが$2$ | |
| $y$を$5$で割った余りが$4$ |
のとき。
これに式Ｇを代入すると、
| $2n$を$3$で割った余りが$2$ | |
| $3n$を$5$で割った余りが$4$ |
とかける。
これを満たす$n$を探す。
$2n$を$3$で割った余りが$2$
より、$p$を整数として、
$2n=3p+2$式Ｈ
両辺を$3$倍して、
$6n=9p+6$式Ｈ'
とかける。
$3n$を$5$で割った余りが$4$
より、$q$を整数として、
$3n=5q+4$
両辺を$2$倍して、
$6n=10q+8$式Ｉ
とかける。
式Ｈ'$=$式Ｉとすると、
$9p+6=10q+8$
より、１次不定方程式
$9p-10q=2$式Ｊ
ができる。
$p=q=1$のとき、
$9\cdot 1-10\cdot 1=-1$
だけど、この両辺を$-2$倍すると、
$9\cdot(-2)-10\cdot(-2)=2$
なので、
| $p=-2$ | 式Ｋ | |
| $q=-2$ |
は式Ｊの解のひとつだ。
この式Ｋを式Ｈに代入すると、
$2n=3\cdot(-2)+2$
$2n$$=-4$
$n=-2$
となるので、求める点サは、$\mathrm{P_{0}}$から
$-2$
移動した点、つまり
$\mathrm{P_{13}}$
である。
解答サ：３
解法２
(4)は、全部書く方式の方が恐らく圧倒的に早い。
| 偶数の回数 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
| 移動回数 | $1$ | $12$ | $5$ | |||
| $2$ | $9$ | $2$ | $10$ | |||
| $3$ | $6$ | $14$ | $7$ | |||
| $4$ | $3$ | $11$ | $4$ | $12$ | ||
| $5$ | $8$ | $1$ | $9$ | |||
| $6$ | $5$ | $13$ | $6$ | $14$ | ||
| $7$ | $2$ | $10$ | $3$ | $11$ | ||
(3)の表Ｅをもう一回載せておいた。
表Ｅにある同じ数字のうち一番上が最小回数なので、印をつける。
例えば、$12$は１行目（緑の部分）と４行目（青い部分）にあるけど、上にある緑の方が$\mathrm{P}_{12}$の最小回数なので、緑の方に印をつける。
すると、表Ｉができる。
| 偶数の回数 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | ||
| 移動回数 | $1$ | $12$ | $5$ | |||
| $2$ | $9$ | $2$ | $10$ | |||
| $3$ | $6$ | $14$ | $7$ | |||
| $4$ | $3$ | $11$ | $4$ | $12$ | ||
| $5$ | $8$ | $1$ | $9$ | |||
| $6$ | $5$ | $13$ | $6$ | $14$ | ||
| $7$ | $2$ | $10$ | $3$ | $11$ | ||
印をつけた（表Ｉでは赤くした）数は$14$あるので、$\mathrm{P_{1}}$～$\mathrm{P_{14}}$がすべて含まれている。
このうち、一番下にあるのは$13$だ。
よって、最小回数が最も大きいのは
$\mathrm{P}_{13}$
で、そのときの移動回数は、
$6$回
である。
解答サ：３, シ：６
解法３
最後に、あんまり数学的じゃない方法を載せておく。推理小説が好きな人とかには合った考え方かも知れない。
だけど、この方法が良いかどうかは別問題だ。
なので、興味がなければ読まなくても問題ない。
図Ｆの５個の点のうち、$\mathrm{P}_{10}$と$\mathrm{P}_{12}$については、図Ｊのように
偶数$2$回で$\mathrm{P}_{10}$に
奇数$1$回で$\mathrm{P}_{12}$に
到達できる。
また、偶数$1$回と奇数$1$回で
$5-3=2$
移動するから、$2$回で$2$進める。
なので、
$\mathrm{P}_{12}$に移動した後、$2$回で$2$進んだ
と考えると、$\mathrm{P}_{14}$には$3$回の移動で到達できる。（図Ｋ）（☆）
$3$回で$\mathrm{P}_{0}$→$\mathrm{P}_{14}$に移動できるので、
$3$回で$1$戻れる。（☆☆）
なので、
$\mathrm{P}_{12}$に移動した後、$3$回で$1$戻った
と考えると、$\mathrm{P}_{11}$には$4$回の移動で到達できる。（図Ｌ）
以上より、選択肢のうち$\mathrm{P}_{13}$以外は、$4$回以下の移動で到達できる。
(3)で$\mathrm{P}_{8}$の最小回数は$5$回と分かっているから、$5$回より少ないものは答えじゃない。
なので、$\mathrm{P}_{13}$以外は答えじゃない。
以上より、消去法で、最小回数が最も大きいのは
$\mathrm{P}_{13}$
である。
解答サ：３
$\mathrm{P}_{13}$の最小回数は、
$\mathrm{P}_{8}$の最小回数の$5$回より多くなるはず
（☆）（☆☆）より、$6$回で$\mathrm{P}_{13}$に移動できるので、多くても$6$
だ。
つまり、$\mathrm{P}_{13}$の最小回数は、$5$より大きく$6$以下の整数なので、
$6$回
であることが分かる。
解答シ：６