大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

(1)

どんな数でも$0$乗は$1$なので、
$f(0)=\displaystyle \frac{2^{0}+2^{0}}{2}$
$\phantom{f(0)}=\displaystyle \frac{1+1}{2}$
$\phantom{f(0)}=1$
である。

解答セ:1

また、
$g(0)=\displaystyle \frac{2^{0}-2^{0}}{2}$
$\phantom{g(0)}=\displaystyle \frac{0}{2}$
$\phantom{g(0)}=0$
となる。

解答ソ:0


さらに、相加平均と相乗平均の関係から、
$\displaystyle \frac{2^{x}-2^{-x}}{2}\geqq\sqrt{2^{x}\cdot 2^{-x}}$
       (等号成立は$2^{x}=2^{-x}$のとき)
とかける。

この式の左辺は$f(x)$なので、
$f(x)\geqq\sqrt{2^{x}\cdot 2^{-x}}$
       (等号成立は$2^{x}=2^{-x}$のとき)
と表せる。

よって、$f(x)$が最小になるのは等号成立のときで、
$2^{x}=2^{-x}$
より
$x=-x$
$x=0$
のとき。

解答タ:0

最小値は
$\sqrt{2^{0}\cdot 2^{0}}=1$
である。

解答チ:1


$g(x)=-2$

$\displaystyle \frac{2^{x}-2^{-x}}{2}=-2$
とかける。
これを解く。

分母を払うと、
$2^{x}-2^{-x}=-4$

負の指数は嫌いな人がいるので、正の指数にかきなおすと、
$2^{x}-\displaystyle \frac{1}{2^{x}}=-4$

$2^{x}=A$とおくと、この式は
途中式 $A-\displaystyle \frac{1}{A}=-4$
より
$A^{2}-1=-4A$
$A^{2}+4A-1=0$
とかける。

解の公式より、
$A=\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}$
途中式 $A$$\displaystyle =\frac{-4\pm\sqrt{4(4+1)}}{2}$
$A$$\displaystyle =\frac{-4\pm 2\sqrt{5}}{2}$
$A$$=-2\pm\sqrt{5}$

アドバイス

$x$の係数が$2$の倍数で、$2b$とかけるとき、
解の公式:$x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-ac}}{a}$
っていうのもあるけど、使わないことを薦めます
この公式に頼ってしまうと、因数分解するのがおろそかになりがちだから。
これを憶える余裕があったら、英単語のひとつでも憶えた方がいいです。

$A=2^{x}$
なので
$2^{x}=-2\pm\sqrt{5}$
だけど、
$0 \lt 2^{x}$
より
$2^{x}=-2-\sqrt{5}$
は不適であることが分かる。

残る
$2^{x}=-2+\sqrt{5}$
が答えなので、これを$x=$の形にする。

この式の両辺の底が$2$の対数をとると
$\log_{2}2^{x}=\log_{2}(-2+\sqrt{5})$
途中式 これを変形して、
$x\log_{2}2=\log_{2}(-2+\sqrt{5})$
$\log_{2}2=1$なので、
$x=\log_{2}(\sqrt{5}-2)$
である。

解答ツ:5, テ:2

(2)

①~④の式をそれぞれ計算する。


$f(-x)=\displaystyle \frac{2^{-x}+2^{-(-x)}}{2}$
$f(-x)$$\displaystyle =\frac{2^{-x}+2^{x}}{2}$
$f(-x)$$\displaystyle =\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$

なので、
$f(-x)=f(x)$
である。

解答ト:0


$g(-x)=\displaystyle \frac{2^{-x}-2^{-(-x)}}{2}$
$g(-x)$$\displaystyle =\frac{2^{-x}-2^{x}}{2}$
$g(-x)$$\displaystyle =\frac{-2^{x}+2^{-x}}{2}$
$g(-x)$$\displaystyle =-\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}$

なので、
$g(-x)=-g(x)$
である。

解答ナ:3


$\left\{f(x)\right\}^{2}-\left\{g(x)\right\}^{2}$
                 $=\left\{f(x)+g(x)\right\}\left\{f(x)-g(x)\right\}$
なので、
$\left\{f(x)\right\}^{2}-\left\{g(x)\right\}^{2}$
          $\displaystyle =\frac{(2^{x}+2^{-x})+(2^{x}-2^{-x})}{2}$
                 $\displaystyle \times\frac{(2^{x}+2^{-x})-(2^{x}-2^{-x})}{2}$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \left\{f(x)\right\}^{2}-\left\{g(x)\right\}^{2}=\frac{2\cdot 2^{x}}{2}\times\frac{2\cdot 2^{-x}}{2}$
$\left\{f(x)\right\}^{2}-\left\{g(x)\right\}^{2}$$=2^{x}\times 2^{-x}$
$\left\{f(x)\right\}^{2}-\left\{g(x)\right\}^{2}$$=1$
である。

解答ニ:1


$g(2x)=\displaystyle \frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2}$

$f(x)g(x)=\displaystyle \frac{2^{x}+2^{-x}}{2}\cdot\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}$
$f(x)g(x)$$\displaystyle =\frac{(2^{x})^{2}-(2^{-x})^{2}}{2^{2}}$
$f(x)g(x)$$\displaystyle =\frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2^{2}}$

となるけど、このふたつの式を見比べると、
$g(2x)=2f(x)g(x)$
であることが分かる。

解答ヌ:2

(3)

問題文に「$\beta$に何か具体的な値を代入して調べ」るような話があるから、やってみよう。

(1)で
$f(0)=1$
$g(0)=0$
が分かっているから、それを使うために、$\beta$に代入する値は$0$だ。


(A)

左辺より、
$f(\alpha-0)=f(\alpha)$

右辺より、
$f(\alpha)g(0)+g(\alpha)f(0)=f(\alpha)\cdot 0+g(\alpha)\cdot 1$
$f(\alpha)g(0)+g(\alpha)f(0)$$=g(\alpha)$

左辺$\neq$右辺となるので、(A)はつねに成り立つわけではない。

(B)

左辺より、
$f(\alpha+0)=f(\alpha)$

右辺より、
$f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)=f(\alpha)\cdot 1+g(\alpha)\cdot 0$
$f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)$$=f(\alpha)$

左辺$=$右辺となるので、答えの候補だ。

(C)

左辺より、
$g(\alpha-0)=g(\alpha)$

右辺は(B)と同じなので、
$f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)=f(\alpha)$

左辺$\neq$右辺となるので、(C)もつねに成り立つわけではない。

(D)

左辺より、
$g(\alpha+0)=g(\alpha)$

右辺より、
$f(\alpha)g(0)-g(\alpha)f(0)=f(\alpha)\cdot 0-g(\alpha)\cdot 1$
$f(\alpha)g(0)-g(\alpha)f(0)$$=-g(\alpha)$

左辺$\neq$右辺となるので、(D)もつねに成り立つわけではない。


以上より、つねに成り立つ可能性があるのは
(B)
だけ。

よって、正しい選択肢は①である。

解答ネ:1