大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠA 第5問 解説

ア~オ

図A
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第5問 解説図A

図Aで、$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線なので、
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$
より
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=3:5$
とかける。

よって、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{3+5}\times 4$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{3}{2}$
である。

解答:ア:3, イ:2

さらに、△$\mathrm{ABD}$は
$\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$
の直角三角形なので、三平方の定理より
$\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$
$\mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
途中式 $\mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}\cdot\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}(2^{2}+1^{2})}{2^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}\cdot 5}{2^{2}}$
$0 \lt \mathrm{AD}$なので
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
となる。

解答ウ:3, エ:5, オ:2

カキ

図B
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第5問 解説図B

次に、図Bのように、$\mathrm{AE}$と円$\mathrm{O}$の交点を$\mathrm{E}$としたとき、
$\mathrm{AE}$(赤い線)
の長さを求める。

同じ弧に対する円周角は等しいので、
オレンジの角は等しい
$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線なので、
緑の角は等しい
だから、
青い三角形と黄色い三角形は相似 であることが分かる。

なので、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AE}=\mathrm{AD}:\mathrm{AC}$
より
$3:\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{3\sqrt{5}}{2}:5$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}\mathrm{AE}=3\cdot 5$
$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{3\cdot 5\cdot 2}{3 \sqrt{5}}$
$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{\cancel{3}\cdot\cancelto{\sqrt{5}}{5}\cdot 2}{\cancel{3}\cancel{\sqrt{5}}}$
$\mathrm{AE}$$=2\sqrt{5}$
である。

解答カ:2, キ:5

別解

△$\mathrm{AEC}$に着目してないけど、方べきの定理を使うと次のような解き方になる。

図Bの赤い線($\mathrm{AE}$)と紫の線($\mathrm{BC}$)に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{AD} \cdot \mathrm{ED} = \mathrm{BD} \cdot \mathrm{CD}$
より
$\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \mathrm{ED} = \frac{3}{2} \cdot \left( 4-\frac{3}{2} \right)$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \mathrm{ED} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3\sqrt{5}}$
$\displaystyle \mathrm{ED} = \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancelto{\sqrt{5}}{5}}{2} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}\cancel{\sqrt{5}}}$
$\mathrm{ED}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{2}$
となる。

よって、$\mathrm{AE}$は、
$\mathrm{AE} = \mathrm{AD} + \mathrm{ED}$
$\mathrm{AE}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$
$\mathrm{AE}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{5}}{2}$
$\mathrm{AE}$$=2\sqrt{5}$
である。

解答カ:2, キ:5

ク~サ,セソ

図Bに円$\mathrm{P}$を書き込むと、図Cができる。
分かっている値は書き込んでおいた方がいいんだけど、図がごちゃごちゃして見にくくなるので省略した。

図C
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第5問 解説図C

円$\mathrm{P}$は$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$に接するので、中心は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線$\mathrm{AE}$上にある。

図中の青い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$\mathrm{AP}:\mathrm{AD}=\mathrm{HP}:\mathrm{BD}$式A
とかける。

$\mathrm{HP}$は円$\mathrm{P}$の半径なので、
$\mathrm{HP}=r$ より、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{2}$ より、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ なので、式Aは
$\displaystyle \mathrm{AP}:\frac{3\sqrt{5}}{2}=r:\frac{3}{2}$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{AP}=\frac{3\sqrt{5}}{2}r$
より
$\mathrm{AP}=\sqrt{5}r$
である。

解答ク:5

また、図Cより、
$\mathrm{PG}=\mathrm{FG}-\mathrm{PF}$式B
と表せる。

ふたつの円が接するとき、
ふたつの円の中心と接点は一直線上にある から、$\mathrm{FG}$は円$\mathrm{O}$の中心を通る。
よって、$\mathrm{FG}$は円$\mathrm{O}$の直径で、
$\mathrm{FG}=5$ である。

さらに、$\mathrm{PF}$は円$\mathrm{P}$の半径なので、
$\mathrm{PF}=r$ とかける。

よって、式Bは
$\mathrm{PG}=5-r$
となる。

解答ケ:5


なので、図C中の緑の線($\mathrm{AE}$)とオレンジの線($\mathrm{FG}$)に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PF}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PE}$
$\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PF}$$=\mathrm{AP}\cdot(\mathrm{AE}-\mathrm{AP})$
より
$(5-r)r=\sqrt{5}r\left(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r\right)$
とかける。

これを解く。
$r\neq 0$なので、両辺を$r$で割ると、
$5-r=\sqrt{5}\left(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r\right)$
$5-r$$=10-5r$
より
$4r=5$
$r=\displaystyle \frac{5}{4}$
である。

解答コ:5, サ:4


問題と順序が変わるけど、説明の都合上、先にの$\mathrm{AH}$を求めておく。

図Cの青い三角形と黄色い三角形の相似から、
$\mathrm{AH}:\mathrm{AB}=\mathrm{HP}:\mathrm{BD}$式C
とかける。

より
$\displaystyle \mathrm{HP}=r=\frac{5}{4}$
より
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{2}$
なので、式Cは
$\displaystyle \mathrm{AH}:3=\frac{5}{4}:\frac{3}{2}$
となる。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{AH}=3\cdot\frac{5}{4}$
$\displaystyle \mathrm{AH}=3\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}$
$\displaystyle \mathrm{AH}$$\displaystyle =\frac{5}{2}$
である。

解答セ:5, ソ:2

の別解

図Cの青い三角形に三平方の定理を使うと、
$\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{AH}^{2}+\mathrm{HP}^{2}$式D
とかける。

$\mathrm{HP}=r$
より、
$\mathrm{AP}=\sqrt{5}r$
なので、式Dは
$\left(\sqrt{5}r\right)^{2}=\mathrm{AH}^{2}+r^{2}$
となる。

これを計算すると、
$\mathrm{AH}^{2}=5r^{2}-r^{2}$
$\mathrm{AH}^{2}$$=4r^{2}$
$\mathrm{AH}=2r$
と表せる。

より
$r=\displaystyle \frac{5}{4}$
なので、$\mathrm{AH}$は
$\displaystyle \mathrm{AH}=2\cdot\frac{5}{4}$
$\displaystyle \mathrm{AH}$$\displaystyle =\frac{5}{2}$
である。

解答セ:5, ソ:2

シス

円$\mathrm{Q}$の半径を$a$とおいて、△$\mathrm{ABC}$だけ取り出すと、図Dができる。

図D
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第5問 解説図D

図Dで、
辺$\mathrm{AB}$に着目すると、
$a+$青$=3$
辺$\mathrm{BC}$に着目すると、
$a+$緑$=4$
なので、
$2a+$青$+$緑$=7$式E
とかける。

さらに、
辺$\mathrm{AC}$より、青$+$緑$=5$ なので、式Eは
$2a+5=7$
より
$2a=2$
$a=1$
となり、円$\mathrm{Q}$の半径は
$1$
である。

解答シ:1

別解

三角形の面積の公式

公式

三角形の面積を$S$,内接円の半径を$r$,3つの辺の長さを$a$,$b$,$c$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$

を使って解くこともできる。

内接円$\mathrm{Q}$の半径を$a$,△$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ
より、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3$
   $=6$
$S=\displaystyle \frac{1}{2}a(\mathrm{BC}+\mathrm{AC}+\mathrm{AB})$
より、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(4+5+3)$
   $=6a$
とかける。

このふたつの値は等しいので、
$6a=6$
より
$a=1$
となるので、円$\mathrm{Q}$の半径は
$1$
である。

解答シ:1

また、図Dの黄色い三角形は直角三角形だから、赤い辺,青い辺,$a$の関係は、三平方の定理より
$\text{赤}^{2}=\text{青}^{2}+a^{2}$
となる。

よって、
$\mathrm{AQ}^{2}=(3-a)^{2}+a^{2}$
$\mathrm{AQ}^{2}$$=2^{2}+1^{2}$
$\mathrm{AQ}^{2}$$=5$
$\mathrm{AQ}=\sqrt{5}$
である。

解答ス:5

これまでに分かった値のうち、必要なものを図Eにまとめた。

図E
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第5問 解説図E

方べきの定理の逆より、
$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$なら、
四点$\mathrm{H}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{Q}$は同一円周上にある
$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$なら、
四点$\mathrm{H}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{Q}$は同一円周上にある
ことになる。

このふたつを計算して確かめよう。

図Eより、$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}$は、
$\displaystyle \mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\frac{5}{2}\times 3$
$\displaystyle \mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}$$\displaystyle =\frac{15}{2}$

また、$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$,$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$は、
$\displaystyle \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}=\sqrt{5}\times\frac{3\sqrt{5}}{2}$
$\displaystyle \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{15}{2}$
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}=\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}$
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$$=10$
となる。

よって、
$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$ $\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}\neq \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$ なので、
(a)は正しい (b)は誤り であることが分かる。

以上より、正しい選択肢は

である。

解答タ:1