図Ａで、$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線なので、
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$
より
$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=3:5$
とかける。

よって、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{3+5}\times 4$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{3}{2}$
である。

解答：ア：３, イ：２

さらに、△$\mathrm{ABD}$は
$\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$
の直角三角形なので、三平方の定理より
$\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$
$\mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

途中式

$\mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =3^{2}\cdot\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}(2^{2}+1^{2})}{2^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{3^{2}\cdot 5}{2^{2}}$
$0 \lt \mathrm{AD}$なので

$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
となる。

解答ウ：３, エ：５, オ：２

次に、図Ｂのように、$\mathrm{AE}$と円$\mathrm{O}$の交点を$\mathrm{E}$としたとき、
$\mathrm{AE}$（赤い線）
の長さを求める。

同じ弧に対する円周角は等しいので、
オレンジの角は等しい $\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線なので、
緑の角は等しい だから、
青い三角形と黄色い三角形は相似 であることが分かる。

なので、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AE}=\mathrm{AD}:\mathrm{AC}$
より
$3:\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{3\sqrt{5}}{2}:5$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}\mathrm{AE}=3\cdot 5$
$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{3\cdot 5\cdot 2}{3 \sqrt{5}}$
$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{\cancel{3}\cdot\cancelto{\sqrt{5}}{5}\cdot 2}{\cancel{3}\cancel{\sqrt{5}}}$
$\mathrm{AE}$$=2\sqrt{5}$
である。

解答カ：２, キ：５

図Ｂに円$\mathrm{P}$を書き込むと、図Ｃができる。
分かっている値は書き込んでおいた方がいいんだけど、図がごちゃごちゃして見にくくなるので省略した。

円$\mathrm{P}$は$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するので、中心は$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線$\mathrm{AE}$上にある。

図中の青い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$\mathrm{AP}:\mathrm{AD}=\mathrm{HP}:\mathrm{BD}$式Ａ
とかける。

$\mathrm{HP}$は円$\mathrm{P}$の半径なので、
$\mathrm{HP}=r$ アイより、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{2}$ ウエオより、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ なので、式Ａは
$\displaystyle \mathrm{AP}:\frac{3\sqrt{5}}{2}=r:\frac{3}{2}$
とかける。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{AP}=\frac{3\sqrt{5}}{2}r$
より
$\mathrm{AP}=\sqrt{5}r$
である。

解答ク：５

また、図Ｃより、
$\mathrm{PG}=\mathrm{FG}-\mathrm{PF}$式Ｂ
と表せる。

ふたつの円が接するとき、
ふたつの円の中心と接点は一直線上にある から、$\mathrm{FG}$は円$\mathrm{O}$の中心を通る。
よって、$\mathrm{FG}$は円$\mathrm{O}$の直径で、
$\mathrm{FG}=5$ である。

さらに、$\mathrm{PF}$は円$\mathrm{P}$の半径なので、
$\mathrm{PF}=r$ とかける。

よって、式Ｂは
$\mathrm{PG}=5-r$
となる。

解答ケ：５

なので、図Ｃ中の緑の線（$\mathrm{AE}$）とオレンジの線（$\mathrm{FG}$）に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PF}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PE}$
$\mathrm{PG}\cdot \mathrm{PF}$$=\mathrm{AP}\cdot(\mathrm{AE}-\mathrm{AP})$
より
$(5-r)r=\sqrt{5}r\left(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r\right)$
とかける。

これを解く。
$r\neq 0$なので、両辺を$r$で割ると、
$5-r=\sqrt{5}\left(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r\right)$
$5-r$$=10-5r$
より
$4r=5$
$r=\displaystyle \frac{5}{4}$
である。

解答コ：５, サ：４

問題と順序が変わるけど、説明の都合上、先にセソの$\mathrm{AH}$を求めておく。

図Ｃの青い三角形と黄色い三角形の相似から、
$\mathrm{AH}:\mathrm{AB}=\mathrm{HP}:\mathrm{BD}$式Ｃ
とかける。

コサより
$\displaystyle \mathrm{HP}=r=\frac{5}{4}$
アイより
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{3}{2}$
なので、式Ｃは
$\displaystyle \mathrm{AH}:3=\frac{5}{4}:\frac{3}{2}$
となる。

これを計算して、
$\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{AH}=3\cdot\frac{5}{4}$
$\displaystyle \mathrm{AH}=3\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{2}{3}$
$\displaystyle \mathrm{AH}$$\displaystyle =\frac{5}{2}$
である。

解答セ：５, ソ：２

円$\mathrm{Q}$の半径を$a$とおいて、△$\mathrm{ABC}$だけ取り出すと、図Ｄができる。

図Ｄで、
辺$\mathrm{AB}$に着目すると、
$a+$青$=3$ 辺$\mathrm{BC}$に着目すると、
$a+$緑$=4$ なので、
$2a+$青$+$緑$=7$式Ｅ
とかける。

さらに、
辺$\mathrm{AC}$より、青$+$緑$=5$ なので、式Ｅは
$2a+5=7$
より
$2a=2$
$a=1$
となり、円$\mathrm{Q}$の半径は
$1$
である。

解答シ：１

また、図Ｄの黄色い三角形は直角三角形だから、赤い辺，青い辺，$a$の関係は、三平方の定理より
$\text{赤}^{2}=\text{青}^{2}+a^{2}$
となる。

よって、
$\mathrm{AQ}^{2}=(3-a)^{2}+a^{2}$
$\mathrm{AQ}^{2}$$=2^{2}+1^{2}$
$\mathrm{AQ}^{2}$$=5$
$\mathrm{AQ}=\sqrt{5}$
である。

解答ス：５

これまでに分かった値のうち、必要なものを図Ｅにまとめた。

方べきの定理の逆より、
$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$なら、
四点$\mathrm{H}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{Q}$は同一円周上にある $\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$なら、
四点$\mathrm{H}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{Q}$は同一円周上にある ことになる。

このふたつを計算して確かめよう。

図Ｅより、$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}$は、
$\displaystyle \mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\frac{5}{2}\times 3$
$\displaystyle \mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}$$\displaystyle =\frac{15}{2}$

また、$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$，$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$は、
$\displaystyle \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}=\sqrt{5}\times\frac{3\sqrt{5}}{2}$
$\displaystyle \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{15}{2}$
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}=\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}$
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$$=10$
となる。

よって、
$\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AD}$ $\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AB}\neq \mathrm{AQ}\cdot \mathrm{AE}$ なので、
(a)は正しい (b)は誤り であることが分かる。

以上より、正しい選択肢は
①
である。

解答タ：１