大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

$\left\{a_{n}\right\}$は初項$3$,公差$p$の等差数列なので、一般項は
$a_{n}=3+(n-1)p$
とかける。

解答ア:3

この式の$n$に$n+1$を代入して、$a_{n+1}$は
$a_{n+1}=3+(n+1-1)p$
       $=3+np$
である。

また、$\left\{b_{n}\right\}$は初項$3$,公比$r$の等比数列なので、一般項は
$b_{n}=3\cdot r^{n-1}$
と表せる。

解答イ:3


ここからどうやって解くのか思いつかないかも知れないけれど、問題がていねいに誘導してくれているから大丈夫。
流れに乗って解こう。

$b_{n}\neq 0$なので、
$a_{n}b_{n+1}-2a_{n+1}b_{n}+3b_{n+1}=0$
の両辺を$b_{n}$で割ると、
$a_{n}\displaystyle \cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}-2a_{n+1}\cdot\frac{b_{n}}{b_{n}}+3\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=0$
より
$a_{n}\displaystyle \cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}-2a_{n+1}+3\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=0$①'
となる。

ここで、
$b_{n+1}=rb_{n}$
より
$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_{n}}=r$
だから、これを①'に代入すると
$ra_{n}-2a_{n+1}+3r=0$
より
$2a_{n+1}=ra_{n}+3r$
$2a_{n+1}$$=r\left(a_{n}+3\right)$
とかける。

解答ウ:2, エ:3

さらに、④に②,③を代入すると、$n$,$p$,$r$の式になって、
$2(3+np)=r\{3+(n-1)p+3\}$
より
$6+2np=6r+rnp-rp$
$rnp-2np=rp-6r+6$
$(r-2)pn=r(p-6)+6$
となる。

解答オ:2, カ:6, キ:6


⑤はすべての自然数$n$について成り立つので、恒等式だ。
なので、

$(r-2)p=0$式A
$r(p-6)+6=0$式B

である。

途中式

⑤は$n$についての恒等式なので、

左辺の$n$の係数$=$右辺の$n$の係数
左辺の定数項$=$右辺の定数項

である。
$n$についての恒等式だから、$p$,$r$は定数扱いだ。

⑤を見ると、
左辺の
$n$の係数は$(r-2)p$ 定数項はないので、$0$
右辺の
$n$の項はないので、係数は$0$ 定数項は$r(p-6)+6$
だ。

以上より、式A,式Bができる。

式Aより
$r-2=0$,$p=0$
だけど、$p\neq 0$なので、$p=0$は不適。
なので、
$r-2=0$
より
$r=2$
であることが分かる。

これを式Bに代入して、
$2(p-6)+6=0$
より
$(p-6)+3=0$
$p=3$
である。

解答ク:3


以上より、
$a_{n}=3+3(n-1)$
    $=3n$式C
$b_{n}=3\cdot 2^{n-1}$式D
となる。

(2)

$\{a_{n}\}$の初項から第$n$項までの和は、等差数列の和の公式
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2}(a_{1}+a_{n})$
に$a_{1}$と式Cを代入して、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2}(3+3n)$
         $=\displaystyle \frac{3}{2}(n+1)$
である。

解答ケ:3, コ:2, サ:1

また、$\{b_{n}\}$の初項から第$n$項までの和は、等比数列の和の公式
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{b_{1}(1-r^{n})}{1-r}$
と$b_{1}$,式Dより、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{3(1-2^{n})}{1-2}$
         $=3(2^{n}-1)$
となる。

解答シ:3, ス:1

別解

Σの公式を使って解くと、次のようになる。

式Cより $a_{n}=3n$なので、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}3k$
         $=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k$
とかける。

これにΣの公式を代入して、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=3\times\frac{1}{2}n(n+1)$
         $=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)$
である。

解答ケ:3, コ:2, サ:1

また、式Dより $b_{n}=3\cdot 2^{n-1}$なので、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=\sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
         $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}\times\frac{2}{2}$
         $=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{3}{2}\cdot 2^{k}$
         $=\displaystyle \frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n}2^{k}$
とかける。

これにΣの公式を代入して、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{3}{2}\times\frac{2(1-2^{n})}{1-2}$
         $=3\displaystyle \times\frac{1-2^{n}}{-1}$
         $=3(2^{n}-1)$
となる。

解答シ:3, ス:1

(3)

$a_{n}c_{n+1}-4a_{n+1}c_{n}+3c_{n+1}=0$
を変形する。

の式と同じように、$c_{n+1}$の項を左辺,$c_{n}$の項を右辺にまとめると、
$a_{n}c_{n+1}+3c_{n+1}=4a_{n+1}c_{n}$
より
$\left(a_{n}+3\right)c_{n+1}=4a_{n+1}c_{n}$
となる。

いま、$a_{n}+3\neq 0$なので、この式はさらに
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{4a_{n+1}}{a_{n}+3}c_{n}$⑥'
と変形できる。

解答セ:4, ソ:3

ここで、$\left\{a_{n}\right\}$は公差が$3$の等差数列なので、
$a_{n+1}=a_{n}+3$
とかけるから、⑥'は
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{4a_{n+1}}{a_{n+1}}c_{n}$
$c_{n+1}$$=4c_{n}$
となる。

これは、公比$4$の等比数列の漸化式である。

解答タ:2

タの別解

式Cより、$\left\{a_{n}\right\}$の一般項は
$a_{n}=3n$
なので、
$a_{n+1}=3(n+1)$
       $=3n+3$
とかける。

これを⑥'に代入すると
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{4(3n+3)}{3n+3}c_{n}$
$c_{n+1}$$=4c_{n}$
となる。

これは、公比$4$の等比数列の漸化式である。

解答タ:2

(4)

$d_{n}b_{n+1}-qd_{n+1}b_{n}+ub_{n+1}=0$
を変形する。

の式と同じように、$d_{n+1}$の項を左辺,そのほかを右辺にまとめると、
$qd_{n+1}b_{n}=d_{n}b_{n+1}+ub_{n+1}$
より
$qd_{n+1}b_{n}=b_{n+1}\left(d_{n}+u\right)$
となる。

いま、$b_{n}\neq 0$,$q\neq 0$なので、この式はさらに
$d_{n+1}=\displaystyle \frac{b_{n+1}}{qb_{n}}\left(d_{n}+u\right)$⑦'
と変形できる。

ここで、$\left\{b_{n}\right\}$は公比が$2$の等比数列なので、
$b_{n+1}=2b_{n}$
とかけるから、⑦'は
$d_{n+1}=\displaystyle \frac{2b_{n}}{qb_{n}}\left(d_{n}+u\right)$
$d_{n+1}$$\displaystyle =\frac{2}{q}\left(d_{n}+u\right)$式E
と表せる。

解答チ:2

チの別解

式Dより、$\left\{b_{n}\right\}$の一般項は
$b_{n}=3\cdot 2^{n-1}$
なので、
$b_{n+1}=3\cdot 2^{(n+1)-1}$
       $=3\cdot 2^{n}$
とかける。

これを⑦'に代入すると
$d_{n+1}=\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n}}{q\times 3\cdot 2^{n-1}}\left(d_{n}+u\right)$
$d_{n+1}=\displaystyle \frac{2}{q}\left(d_{n}+u\right)$
となる。

解答チ:2

等比数列の漸化式は、$\beta$を定数として
$\alpha_{n+1}=\beta\alpha_{n}$
の形。

式Eがこの形になるためには、
$u=0$
でなければならない。

解答テ:0

このとき、公比は
$\displaystyle \frac{2}{q}$
である。

この公比が$0$より大きく$1$より小さいので、
$0 \lt \displaystyle \frac{2}{q} \lt 1$
より
$2 \lt q$
となる。

解答ツ:2