大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠA 第2問 [2] 解説

(1)

まず、箱ひげ図の復習をしておこう。

復習

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 復習図

四分位範囲$=$第3四分位数$-$第1四分位数
              $=$箱の幅

復習の内容を思い出したところで、選択肢をひとつずつ確認する。


図A
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 解説図A

2000年度までの第1次産業の四分位範囲は、図A中に黄色で表した部分。
図Aを見ると、下にゆくほど黄色の部分は幅が狭くなっている。
なので、正しい。

第1次産業のひげは、図A中に緑で表した部分。
左右のひげの長さを見比べると、例えば2000年度は、明らかに右のひげの方が長い。
なので、正しくない。
答えをひとつ見つけた。

1990年度以降の第2次産業の中央値は、図A中にオレンジで表した部分。
図Aを見ると、オレンジの線は下にゆくほど左に移動している。
なので、正しい。

第2次産業の第1四分位数は、図A中に紫で表した部分。
図Aを見ると、紫の線は1990年度が一番右にある。
下にゆくほどコンスタントに左に移動しているわけではないので、誤り。
ふたつ目の答えを見つけた。

答えは全部見つけたけれど、せっかくだから残りの選択肢も検討しておく。

第3次産業の第3四分位数は、図A中に青で表した部分。
図Aを見ると、青い線は下にゆくほど右に移動している。
なので、正しい。

第三次産業の最小値は、図A中に赤で表した部分。
図Aを見ると、赤い線は下にゆくほど右に移動している。
なので、正しい。


以上より、正しくない選択肢は
①③
である。

解答タチ:13(順不同)

(2)

ここで、四分位数について復習しておこう。

復習

値を左から小さい順に並べる。
中央値は、ちょうど真ん中にある数。値の数が偶数のときは、真ん中にある2個の値の平均値。 値の数が奇数のときは、中央値を除いて偶数にして、
左半分の中央値が、第1四分位数。 右半分の中央値が、第3四分位数。

都道府県の$47$個の値の場合、次の図のようになる。

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 復習図

よって、
第1四分位数は、左(小さい方)から12番目の都道府県の値 第1四分位数は、右(大きい方)から12番目の都道府県の値 である。

それから、確認しておくけれど、問題文中の図1の値は割合なので、整数とは限らない。てか、きっと整数じゃない。
なので、目盛線と重なっているように見える
1975年度の第3次産業の最大値 1985年度の第3次産業の最小値 などは、恐らく目盛線の左右どちらかにちょっとだけズレている。

以上のことを頭に置いて、問題を解こう。

また、解説の中では、
○以上△以下の階級
○~△の階級 と書くことにする。


選択肢のヒストグラムを見ると、第3次産業の最大値が
⓪,②,④では、$70$~$75$の階級 ①,③では、$65$~$70$の階級 入っている。

箱ひげ図を見ると、第3次産業の最大値が
$70$~$75$の階級なのは、
1990年度,1995年度,2000年度
$65$~$70$の階級なのは、
1980年度,1985年度と、1975年度もそうかも
だ。

なので、
①,③は、
1975年度,1980年度,1985年度のうちの2つ
⓪,②,④は、
1990年度,1995年度,2000年度
であることが分かる。
この2つのグループに分けて考える。


まず、①,③から。

1975年度,1980年度,1985年度の箱ひげ図と ①,③のヒストグラムをひとつの図にして、図Bをつくった。
ただし、ヒストグラムはデータの範囲だけ示してある。

図B
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 解説図B

図Bより、1975年度は、第1次産業の最大値が当てはまらないので ①でも③でもない。
なので、①,③の一方が1980年度、もう一方が1985年度になる。
だけど、第3次産業の最小値から、1980年度は①にはならない。
以上より、1985年度のヒストグラムは

である。

解答ツ:1


さらに、⓪,②,④だ。

①,③のときと同じように図Cをつくった。

図C
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 解説図C

図Cより、⓪は1990年度のヒストグラムだ。
なので、②,④の一方が1995年度、もう一方が2000年度になる。
図Cを見ても分かるように、この2つは第1次産業,第3次産業ともに 最大値も最小値も同じ階級に入っているから、見分けるためには面倒だけれど四分位数を使わないといけない。

箱ひげ図を見ると、第3次産業の第3四分位数(図Cの赤い線)は
1995年度では$60$~$65$の階級 2000年度では$65$~$70$の階級 に入っている。

復習より、第3四分位数は、大きい方から12番目の都道府県の値だ。
なので、②と④のヒストグラムを見て、大きい方から12番目が$60$~$65$の階級に入っている方が答えだ。

以上より、1995年度のヒストグラムは

である。

解答テ:4

(3)

さらに、相関の強さと散布図について復習しておこう。

復習

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 復習図

点が直線状に分布$\Leftrightarrow$相関が強い

ただし、下の図のように、点が縦軸や横軸に平行な直線上に並んでいる場合は 相関係数は計算できなくて、相関が強いとは言わない。

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 復習図

問題文中の図2,図3を見ると、復習より
第1次産業と第2次産業では、1975年度の方が相関が強い 第2次産業と第3次産業では、2015年度の方が相関が強い 第3次産業と第1次産業では、1975年度の方が相関が強い ことが分かる。

よって、正しい組合せは、選択肢の

である。

解答ト:5

(4)

問題文中の図4を図Dに示した。
ただし、レイアウトの都合上、縦方向に半分に縮小してある。
また、解説を簡潔にするために、横軸を$x$,縦軸を$y$とする。

図D
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 解説図D

問題文を読むだけだと分かりにくいので、ちょっと作業してみよう。

図Dの赤い点の都道府県は、
$x$が$1$くらい $y$が$58$くらい だ。

この$58$は、第1次産業のうちの男性の割合だ。
男性の割合$+$女性の割合$=100$(%)
なので、赤い点の都道府県の女性の$y$は
$100-58=42$
くらいになる。

求める散布図は、横軸が図Dと同じで、縦軸が女性の就業者割合だから、赤い都道府県の女性の点は
$(1,42)$
付近になることが分かる。

同様に緑の点を考えると、図Dでは
$(5,55)$
あたりなので、女性の点は
$100-55=45$
より
$(5,45)$
付近になる。

また、青い点は
$100-53=47$
より
$(11,47)$
付近になる。


図E
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第2問[2] 解説図E

この作業をしていると気づくけど、
男性の割合$+$女性の割合$=100$
なので、
男性の$y$と女性の$y$の平均は$50$ つまり
男性の$y$と女性の$y$の中点は$50$ になる。

また、女性の点の$x$は男性の点の$x$と等しい。

よって、図Eのように、女性の点は男性の点と
$y=50$
の線(図Eの赤い線)に関して対称の位置にある。

以上より、求める女性の散布図は、問題文中の図4を上下反転した

である。

解答ナ:2