大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

正五角形のひとつの内角は$108^{\circ}$だ。
知っていればいいんだけど、知らない人もいるだろうし、多角形の内角の復習から始めよう。

復習

中学校で習った多角形の性質に、
どんな多角形でも、外角の和は$360^{\circ}$である。 というのがあった。

これを使うと、正五角形のひとつの外角は
$\displaystyle \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$
なので、ひとつの内角は
$180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$
となる。

このほかにもいくつかの解法がある。
3つ紹介したので、必要に応じて確認してほしい。

別解1

$n$角形の内角の和には公式があって、

公式

内角の和$=180\cdot(n-2)^{\circ}$

だった。

これを使うと、五角形の内角の和は
$180\cdot(5-2)=180\cdot 3^{\circ}$
なので、ひとつの内角はこれを$5$で割って、
$\displaystyle \frac{180\cdot 3}{5}=36\cdot 3$
           $=108^{\circ}$
となる。

別解2

外角の和の性質も 内角の和の公式も知らないときは、次のように考える。

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 復習図

正五角形の頂点を結んで、右図のように3つの三角形に分ける。
緑の角,赤い角,青い角ともに和は$180^{\circ}$なので、正五角形の内角の和は
$180^{\circ}\times 3$
である。

ひとつの内角はこれを$5$で割って、
$\displaystyle \frac{180\cdot 3}{5}=36\cdot 3$
           $=108^{\circ}$
となる。

別解3

次のような考え方もある。

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 復習図

正五角形の各頂点から中心を結んで、右図のように5つの合同な三角形をつくる。
5つの赤い角は等しいので、赤い角ひとつは
$\displaystyle \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$
である。

赤い角ひとつと緑の角ふたつで$180^{\circ}$なので、緑の角ふたつは
$180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$
だから、正五角形のひとつの内角は
$108^{\circ}$
となる。

正五角形のひとつの内角が分かったところで、問題を解く。

図A
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図A

図Aの青い三角形は頂角$108^{\circ}$の二等辺三角形なので、青い角はそれぞれ
$(180^{\circ}-108^{\circ})\div 2=36^{\circ}$
である。

よって、
$\angle \mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1}\mathrm{B}_{1}=36^{\circ}$
となる。

解答ア:3, イ:6

また、図Aの青い三角形と緑の三角形は、ふたつの辺と間の角が等しいから合同だ。

なので、
青い角$=$緑の角$=36^{\circ}$
だから、赤い角は
$108^{\circ}-2\times 36^{\circ}=36^{\circ}$
である。

よって、
$\angle \mathrm{C}_{1}\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}=36^{\circ}$
となる。

以上より、錯角が等しいから
$\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}$∥$\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}$
なので、
$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}$∥$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$
であることが分かる。

さらに、
$\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}=a$
$\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}=1$
で、
$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}$と$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$は向きも等しい。

よって、
$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}=a\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$式A
と表せる。

解答ウ:a


式Aを変形して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\frac{1}{a}\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}$式A'

$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}$を、点$\mathrm{O}$を始点とするベクトルで表すと
$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$
なので、式A'は
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\displaystyle \textcolor{red}{\frac{1}{a}} \left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right)$式A''
とかける。


図B
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図B

$a$を求めるために、$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$の式をもうひとつ作って、式A''と係数を比較しよう。

図Bで
赤い矢印$=$青い矢印

より
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2}}+\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}+\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1}}$式B
と表せる。

詳しく

ベクトルとは、移動のようなものだ。
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$(図Bの赤い矢印)を、$\mathrm{B}_{1}$から$\mathrm{C}_{1}$への移動と考える。
$\mathrm{B}_{1}$から$\mathrm{C}_{1}$への移動は他にもルートがある。
例えば図Bの青い矢印は、かなり遠回りだけれど$\mathrm{B}_{1}$から$\mathrm{C}_{1}$への移動だ。
なので、青いベクトルの和と赤いベクトルは等しいといえる。

式Aをつくったときと同様に考ると
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{A}_{2}}=a\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{O}}$ $\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{C}_{1}}=a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$ なので、式Bは
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=a\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{O}}+\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{O}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$
とかける。

式A''で$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$を表すのに使ったベクトルは$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$だった。
今回もそれに合わせると、
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}=-a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$
途中式 $\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$$=(1-a)\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}+(a-1)\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$$=(a-1)\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-(a-1)\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$
$\vec{\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}}$$=\textcolor{red}{(a-1)}\left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right)$式B'
となる。

解答エ:a オ:1


式A''$=$式B'なので、ふたつの式の赤い部分は等しい。
なので、
$\displaystyle \frac{1}{a}=a-1$
とかける。

これを解いて、
途中式 $1=a^{2}-a$
$a^{2}-a-1=0$
解の公式より
$a=\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}$
$a$$\displaystyle =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
$0 \lt a$なので、$a$は
$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
である。

(2) カ~サ

図C
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図C

図Cで、オレンジの面上にある赤いベクトルは、青いベクトルの和と等しい。
よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{1}}$式C
とかける。

(1)で考えたように
$\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{1}}=a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$
なので、式Cは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$式C'
と変形できる。


また、
$\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}=a$
$\displaystyle \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}$$\displaystyle =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
なので、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}\right|=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$式D
とかける。

いま
$\vec{\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$
なので、式Dは
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right|=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
となるから、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right|^{2}=\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$
途中式                      $=\displaystyle \frac{1+2\sqrt{5}+5}{2^{2}}$
                     $=\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2^{2}}$
                     $=\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}$式E
である。

解答カ:3, キ:5, ク:2


式Eをさらに変形すると、
$\displaystyle \left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right)\cdot\left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
より
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right|^{2}-2\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right|^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$式E'
となる。

いま、正十二面体の1辺の長さは$1$なので、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right|=\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right|=1$
だから、式E'は
$1^{2}-2\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+1^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
とかける。

これを計算して、
途中式 $2\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}=2-\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
$2\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
である。

解答ケ:1, コ:5, サ:4

(2) シ,ス

図D
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図D

図Dで、緑の面上にある赤いベクトルは、青いベクトルの和と等しい。
よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+\vec{\mathrm{A}_{3}\mathrm{B}_{2}}$式F
とかける。

さっきと同じように考えると
$\vec{\mathrm{A}_{3}\mathrm{B}_{2}}=a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$
なので、式Fは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$式F'
と変形できる。


図E
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図E

また、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$,$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}$(図Eの3つの赤いベクトル)は、
すべて大きさが$1$ どの組合せも、なす角は$108^{\circ}$ で等しい。

なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}$
であり、より、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$式G
である。


ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$
を考える。

式F'より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right)$

これを計算して
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}$

式Gを代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =(a+1)\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4}$

$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
途中式 $\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{3-2\sqrt{5}-5}{2\cdot 4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{-2-2\sqrt{5}}{2\cdot 4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$式H
である。

解答シ:9


また、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$
に式C'を代入すると
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\right)\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$

これを計算すると
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\textcolor{red}{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}}+a \textcolor{green}{\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}}$式I
となるけど、この式の緑の部分は式Hで計算済み。
赤い部分を考えよう。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$
は、式F'より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\left(\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+a\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right)$
とかける。

これを計算して
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{3}}+a\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right|^{2}$

式Gと$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\right|=1$を代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}_{2}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a$

これと式Hを式Iに代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a+a\cdot\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$

途中式

$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a\left(1+\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+a\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\frac{3+2\sqrt{5}-5}{2\cdot 4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\frac{-2+2\sqrt{5}}{2\cdot 4}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$\displaystyle =\frac{1-\sqrt{5}}{4}+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$$=0$
である。

解答ス:0

(2) セ

図F
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第5問 解説図F

図Fで、赤いベクトルは、青いベクトルの和と等しい。
よって、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}+\vec{\mathrm{B}_{2}\mathrm{D}}$式J
と表せる。

いま、

$\vec{\mathrm{B}_{2}\mathrm{D}}=a\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{C}_{1}}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}=a\vec{\mathrm{A}_{2}\mathrm{C}_{1}}$

なので、
$\vec{\mathrm{B}_{2}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}$
となるから、式Jは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}+\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}$
とかける。

つまり、$s$,$t$を実数として
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=s\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}+t\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}$
の形で表せるので、点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}_{1}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{B}_{2}$は同一平面上にある。


また、
$\mathrm{OB_{1}}=\mathrm{OB_{2}}=\mathrm{B_{1}D}=\mathrm{B_{2}D}=a$
なので、四角形$\mathrm{OB}_{1}\mathrm{DB}_{2}$(図Fの紫の四角形)のすべての辺の長さは等しい。

さらに、より
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{1}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}_{2}}=0$
なので、
$\angle \mathrm{B}_{1}\mathrm{OB}_{2}=90^{\circ}$
である。

以上より、紫の四角形は
正方形
であることが分かる。

解答セ:0