大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠA 第1問 [2] 解説

(1)

$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$なので、
$\sin^{2}A+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1$
より、

$\displaystyle \sin^{2}A=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$
途中式 $\displaystyle \sin^{2}A$$\displaystyle =\frac{5^{2}-3^{2}}{5^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}A$$\displaystyle =\frac{4^{2}}{5^{2}}$
$0 \lt \sin A$だから
$\displaystyle \sin A=\frac{4}{5}$式A
である。

解答セ:4, ソ:5


図A
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 解説図A

△ABC、つまり図Aの緑の三角形の面積は、三角形の面積の公式より
緑$=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$式B
とかける。

これに$b=6$,$c=5$と式Aを代入して、求める面積は
緑$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot\frac{4}{5}$
   $=12$
である。

解答タ:1, チ:2


次は△AID、つまり図Aの青い三角形の面積だ。

図Aのように$\angle \mathrm{DAI}=A'$とおくと、三角形の面積の公式より、青い三角形の面積は
青$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AI}\cdot \mathrm{AD}\cdot\sin A'$式C
とかける。

図A中の黄色い四角形は両方とも正方形なので、

$\mathrm{AI}=\mathrm{AC}=b$
$\mathrm{AD}=\mathrm{AB}=\mathrm{c}$

である。

また、点Aの周りの角を考えると、
$A+A'+2\times 90^{\circ}=360^{\circ}$
なので、
$A+A'=180^{\circ}$
より
$\sin A'=\sin A$
であることが分かる。

よって、式Cは
青$=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$式C'
と変形できる。

式Cの右辺は式Bの右辺と等しい。
なので、$b$,$c$,$A$の値にかかわらず、常に緑と青の三角形の面積は等しい。

以上より、緑の三角形の面積は、タチと同じ
$12$
である。

解答ツ:1, テ:2

(2)

$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$は それぞれ一辺が$a$,$b$,$c$の正方形の面積なので、

$S_{1}=a^{2}$式D
$S_{2}=b^{2}$
$S_{3}=c^{2}$

とかける。

ここで、三角形の辺と角の大小について復習しておこう。

復習

$A \lt 90^{\circ}$

$a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$
$A=90^{\circ}$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
$A \gt 90^{\circ}$

$a^{2} \gt b^{2}+c^{2}$
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 復習図 大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 復習図 大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 復習図

式Dと復習より、
$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$のとき、
$a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2} \lt 0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3} \lt 0$
$A=90^{\circ}$のとき、
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2}=0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3}=0$

$90^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ}$のとき、
$a^{2} \gt b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2} \gt 0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3} \gt 0$
である。

解答ト:2, ナ:0, ニ:1

(3)

(1)で考えたように、$b$,$c$,$A$の値にかかわらず、常に△ABCと△AIDの面積は等しかった。
つまり、$a$,$b$,$c$の値に関係なく、
$T_{1}=$△ABC だった。

(1)と同様に考えると、$a$,$b$,$c$の値に関係なく、
$T_{2}=$△ABC $T_{3}=$△ABC であることが分かる。

よって、$a$,$b$,$c$の値に関係なく、
$T_{1}=T_{2}=T_{3}$
である。

解答ヌ:3

(4)

まず、$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$のときを考える。

$\angle \mathrm{DAI}=A'$,$\mathrm{ID}=a'$とおくと、例えば図Bのような図形ができる。
このとき、図中の緑と青の三角形の外接円で、どちらが半径が大きいかを調べよう。

図B
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 解説図B

(1)で考えたように
$A+A'=180^{\circ}$
なので、
$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$
のとき
$90^{\circ} \lt A' \lt 180^{\circ}$
だ。

このとき、(2)の復習より、

$a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$
$a^{\prime 2} \gt b^{2}+c^{2}$

だから
$a^{2} \lt a^{\prime 2}$
より
$a \lt a'$式E
であることが分かる。
つまり、
$\mathrm{ID} \gt \mathrm{BC}$
となる。

解答ネ:2

ここからは、
解法1:正弦定理を使った解法 解法2:面積を使った解法 が考えられる。
どちらがお薦めというわけでもないけれど、正弦定理を使う方が一般的かも。
ここでは両方解説する。

解法1:正弦定理を使った解法

緑と青の三角形の外接円の半径をそれぞれ$R$,$R'$とおくと、正弦定理より
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$
より
$a=2R\sin A$
$\displaystyle \frac{a'}{\sin A'}=2R'$
より
$a'=2R'\sin A'$
だけど、(1)で考えたように、
$\sin A'=\sin A$
なので、
$a'=2R'\sin A$
とかける。

このふたつの式を式Eに代入すると、
$2R\sin A \lt 2R'\sin A$
より
$R \lt R'$
となるから、青い三角形の外接円の半径より、緑の三角形の外接円の半径の方が小さいことが分かる。

以上より、

△AIDの外接円の半径$ \gt $△ABCの外接円の半径

である。

解答ノ:2

解法2:面積を使った解法

解説に入る前に、三角形の面積の公式を復習しておこう。

復習

大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 復習図

図のような三角形ABCの面積を$S$,内接円の半径を$r$,外接円の半径を$R$とするとき、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}ah$ $S=\displaystyle \frac{1}{2}ac\sin\angle B$ $S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$ $S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$式F $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}$
である。

たくさん公式があるけど、今使うのは、外接円の半径$R$が含まれている式Fだ。

解法1と同じく、緑と青の三角形の外接円の半径をそれぞれ$R$,$R'$とおく。
式Fより、図Bの緑と青の三角形の面積を求めると、
緑$=\displaystyle \frac{abc}{4R}$
より
$ 4R\cdot$緑$=abc$
$a=\displaystyle \frac{4R\cdot \text{緑}}{bc}$
青$=\displaystyle \frac{a'bc}{4R'}$
より
$ 4R'\cdot$青$=a'bc$
$a'=\displaystyle \frac{4R'\cdot \text{青}}{bc}$
だけど、
(1)で考えたように、
青$=$緑
なので、
$a'=\displaystyle \frac{4R'\cdot \text{緑}}{bc}$
とかける。

このふたつの式を式Eに代入すると、
$\displaystyle \frac{4R\cdot \text{緑}}{bc} \lt \frac{4R'\cdot \text{緑}}{bc}$
より
$R \lt R'$
となるから、青い三角形の外接円の半径より、緑の三角形の外接円の半径の方が小さいことが分かる。

以上より、

△AIDの外接円の半径$ \gt $△ABCの外接円の半径

である。

解答ノ:2

図C
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 解説図C

で分かったことをまとめると、図Cができる。
図Cのような状態の2つの三角形で 外接円の半径を比べると、鋭角側が小さい

よって、


図D
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 解説図D

$0^{\circ} \lt A \lt B \lt C \lt 90^{\circ}$のときの図を描くと、図Dのようになる。
図Dより、外接円の半径が最も小さい三角形は
△ABC
である。

解答ハ:0


図E
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅠA第1問[2] 解説図E

$0^{\circ} \lt A \lt B \lt 90^{\circ} \lt C$のときの図を描くと、図Eのようになる。
図Eより、外接円の半径が最も小さい三角形は
△CGH
である。

解答ヒ:3