$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$なので、
$\sin^{2}A+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1$
より、

$\displaystyle \sin^{2}A=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$

途中式

$\displaystyle \sin^{2}A$$\displaystyle =\frac{5^{2}-3^{2}}{5^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}A$$\displaystyle =\frac{4^{2}}{5^{2}}$
$0 \lt \sin A$だから

$\displaystyle \sin A=\frac{4}{5}$式Ａ
である。

解答セ：４, ソ：５

次は△AID、つまり図Ａの青い三角形の面積だ。

図Ａのように$\angle \mathrm{DAI}=A'$とおくと、三角形の面積の公式より、青い三角形の面積は
青$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AI}\cdot \mathrm{AD}\cdot\sin A'$式Ｃ
とかける。

図Ａ中の黄色い四角形は両方とも正方形なので、

	$\mathrm{AI}=\mathrm{AC}=b$
	$\mathrm{AD}=\mathrm{AB}=\mathrm{c}$

である。

また、点Aの周りの角を考えると、
$A+A'+2\times 90^{\circ}=360^{\circ}$
なので、
$A+A'=180^{\circ}$
より
$\sin A'=\sin A$
であることが分かる。

よって、式Ｃは
青$=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$式Ｃ'
と変形できる。

式Ｃの右辺は式Ｂの右辺と等しい。
なので、$b$，$c$，$A$の値にかかわらず、常に緑と青の三角形の面積は等しい。

以上より、緑の三角形の面積は、タチと同じ
$12$
である。

解答ツ：１, テ：２

$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$は それぞれ一辺が$a$，$b$，$c$の正方形の面積なので、

	$S_{1}=a^{2}$	式Ｄ
	$S_{2}=b^{2}$
	$S_{3}=c^{2}$

とかける。

ここで、三角形の辺と角の大小について復習しておこう。

復習

$A \lt 90^{\circ}$ ⇕ $a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$	$A=90^{\circ}$ ⇕ $a^{2}=b^{2}+c^{2}$	$A \gt 90^{\circ}$ ⇕ $a^{2} \gt b^{2}+c^{2}$

式Ｄと復習より、
$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$のとき、
$a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2} \lt 0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3} \lt 0$ $A=90^{\circ}$のとき、
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2}=0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3}=0$

$90^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ}$のとき、
$a^{2} \gt b^{2}+c^{2}$
より、
$a^{2}-b^{2}-c^{2} \gt 0$
なので、
$S_{1}-S_{2}-S_{3} \gt 0$ である。

解答ト：２, ナ：０, ニ：１

(1)で考えたように、$b$，$c$，$A$の値にかかわらず、常に△ABCと△AIDの面積は等しかった。
つまり、$a$，$b$，$c$の値に関係なく、
$T_{1}=$△ABC だった。

(1)と同様に考えると、$a$，$b$，$c$の値に関係なく、
$T_{2}=$△ABC $T_{3}=$△ABC であることが分かる。

よって、$a$，$b$，$c$の値に関係なく、
$T_{1}=T_{2}=T_{3}$
である。

解答ヌ：３

まず、$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$のときを考える。

$\angle \mathrm{DAI}=A'$，$\mathrm{ID}=a'$とおくと、例えば図Ｂのような図形ができる。
このとき、図中の緑と青の三角形の外接円で、どちらが半径が大きいかを調べよう。

(1)で考えたように
$A+A'=180^{\circ}$
なので、
$0^{\circ} \lt A \lt 90^{\circ}$
のとき
$90^{\circ} \lt A' \lt 180^{\circ}$
だ。

このとき、(2)の復習より、

	$a^{2} \lt b^{2}+c^{2}$
	$a^{\prime 2} \gt b^{2}+c^{2}$

だから
$a^{2} \lt a^{\prime 2}$
より
$a \lt a'$式Ｅ
であることが分かる。
つまり、
$\mathrm{ID} \gt \mathrm{BC}$
となる。

解答ネ：２

ここからは、
解法１：正弦定理を使った解法 解法２：面積を使った解法 が考えられる。
どちらがお薦めというわけでもないけれど、正弦定理を使う方が一般的かも。
ここでは両方解説する。