大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

①,②ともに定数項は$3$なので、$x$に$0$を代入すると$y$は$3$になる。
よって、$y$軸との交点の$y$座標は
$3$
である。

解答ア:3

また、
①を微分すると
$y'=6x+2$
②を微分すると
$y'=4x+2$
だから、$x=0$を代入すると、両方とも
$y'=2$
になる。

なので、①,②ともに、$x=0$における接線の傾きは
$2$
である。

よって、求める接線は
傾きが$2$ $y$切片が$3$ の直線だから、
$y=2x+3$
となる。

解答イ:2, ウ:3

アドバイス

以上から、
$y=\cdots+\alpha x^{4}+\beta x^{3}+\gamma x^{2}+ \textcolor{red}{\delta x}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{\epsilon}$式A
というグラフがあった場合、
$x=0$における
$y$座標($y$切片)は、式Aの緑の部分 接線の式は、式Aの赤い部分 であることが分かる。

詳しく

$y=\cdots+\alpha x^{4}+\beta x^{3}+\gamma x^{2}+\delta x+\textcolor{darkorange}{\epsilon}$
に$x=0$を代入すると
$y=\textcolor{darkorange}{\epsilon}$
となるので、グラフの$y$切片は必ず式Aの緑の部分になる。

また、
$y=\cdots+\alpha x^{4}+\beta x^{3}+\gamma x^{2}+\textcolor{magenta}{\delta} x+\epsilon$
を微分すると、導関数は
$y'=\cdots+4\alpha x^{3}+3\beta x^{2}+2\gamma x+\textcolor{magenta}{\delta}$
となるけど、これに$x=0$を代入すると、
$y'=\textcolor{magenta}{\delta}$
である。

よって、$x=0$における接線は
傾きが$\textcolor{magenta}{\delta}$ $y$切片が$\textcolor{darkorange}{\epsilon}$ の直線だから、
$y=\textcolor{magenta}{\delta}x+\textcolor{darkorange}{\epsilon}$
となって、必ず式Aの赤い部分になる。

アドバイスより、$x=0$における接線がで求めた直線になる2次関数は、$\alpha$を実数として
$y=\alpha x^{2}+\textcolor{red}{2x+3}$
とかける。

選択肢のうち、これにあてはまるのは

である。

解答エ:4


次は、
$y=ax^{2}+bx+c$
の$y$切片と接線だ。

アドバイスより、
$y=ax^{2}+\textcolor{red}{bx+}$ $\textcolor{red}{c}$

$y$軸との交点の$y$座標は、
緑の部分の $c$
$x=0$における接線$\ell$の式は、
赤い部分の $bx+c$
である。

解答オ:c, カ:b, キ:c

この直線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標は、$y=0$を代入して、
$bx+c=0$
より
$x=-\displaystyle \frac{c}{b}$
である。

解答ク:-, ケ:c, コ:b


$0 \lt a$,$0 \lt b$,$0 \lt c$のとき、

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフは
$0 \lt a$なので、下に凸 $-\displaystyle \frac{b}{a} \lt 0$なので、軸は$y$軸より左 だ。

なので、グラフは図Aのようになる。

ただし、図Aでは、とりあえず
$x=-\displaystyle \frac{c}{b}$は放物線の軸よりも左 放物線と$x$軸は共有点をもたない ように描いてあるけれど、そうなるとは限らない。

図A
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第2問 解説図A

図Aの緑の部分の面積$S$は
$S=\displaystyle \int_{-\frac{c}{b}}^{0}\{(ax^{2}+bx+c)-(bx+c)\}dx$
とかける。

これを計算して、$S$は
$S=\displaystyle \int_{-\frac{c}{b}}^{0}ax^{2} dx$
$S$$\displaystyle =\left[\frac{ax^{3}}{3}\right]_{-\frac{c}{b}}^{0}$
$S$$\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{a\cdot 0^{3}-a\left(-\frac{c}{b}\right)^{3}\right\}$
$S$$\displaystyle =\frac{ac^{3}}{3b^{3}}$
となる。

解答サ:3, シ:3, ス:3


$b$と$c$のグラフを考えるために、③を$c=$の形に変形しよう。

$a=1$のとき、③は
$S=\displaystyle \frac{c^{3}}{3b^{3}}$
となる。

これを変形して、
$c^{3}=3Sb^{3}$
両辺の3乗根をとって、
$c=\sqrt[3]{3S}b$③'

$\sqrt[3]{3S}=k$
とおくと、$S$は定数なので、$k$は定数だ。
よって、③'は、定数$k$を使って
$c=kb$
と表せる。

これは正比例の式なので、グラフは、選択肢の

である。

解答セ:0

(2)

(1)のアドバイスより、④,⑤,⑥の
$y$軸との交点の$y$座標は、$5$ $x=0$における接線$\ell$の式は、$y=3x+5$ である。

解答ソ:5, タ:3, チ:5

同様に、
$y=ax^{3}+bx^{2}+\textcolor{red}{cx+}$ $\textcolor{red}{d}$

$y$軸との交点の$y$座標は、
緑の部分の $d$
$x=0$における接線$\ell$の式は、
赤い部分の $cx+d$
である。

解答ツ:d, テ:c, ト:d


$y=h(x)$
のグラフと$x$軸との共有点を考えよう。

$h(x)=f(x)-g(x)$
より
$h(x)=(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)-(cx+d)$
$h(x)$$=ax^{3}+bx^{2}$式B
とかける。

グラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
$h(x)=0$
の解なので、
$ax^{3}+bx^{2}=0$
を解けばよい。

これを計算して、
$(ax+b)x^{2}=0$
より
$ax+b=0$,$x=0$
なので、グラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
$x=-\displaystyle \frac{b}{a}$,$0$
となる。

このうち、
$0$
は重解なので、グラフは$x=0$、つまり原点で$x$軸と接する。

また、$0 \lt a$,$0 \lt b$なので、
$-\displaystyle \frac{b}{a} \lt 0$
である。
なので、グラフは$x \lt 0$の範囲で$x$軸と交わる。

よって、当てはまるグラフは、選択肢の

である。

解答ナ:2


また、
$h(x)=0$

$f(x)-g(x)=0$
つまり
$f(x)=g(x)$
と表せるけど、この解が
$-\displaystyle \frac{b}{a}$,$0$
なので、この2つの値のとき$f(x)$と$g(x)$の値は等しくなる。

よって、この2つの値のとき、
$y=f(x)$

$y=g(x)$
のグラフは共有点をもつ。

解答ニ:-, ヌ:b, ネ:a, ノ:0


最後は、
$\left|f(x)-g(x)\right|$の最大 つまり
$\left|h(x)\right|$の最大 の問題だ。

より、
$y=h(x)$
のグラフの概形は、選択肢の②(図B)だった。

図B
大学入学共通テスト2021年本試 数学ⅡB第2問 解説図B

いまは
$-\displaystyle \frac{b}{a} \lt x \lt 0$
のときを考えるので、$x$の範囲は図Bの緑の部分だ。

緑の範囲では、グラフは$x$軸よりも上にあるから、
$0 \lt h(x)$
なので、
$\left|h(x)\right|$の最大 は、
$h(x)$の最大 と言いかえられる。

図Bの緑の範囲で$h(x)$が最大になるのは、図Bの赤い点で、極大になる点だ。

ということで、$h(x)$が極大のときの$x$を求めよう。


$h(x)$の式(式B)を微分して、
$h'(x)=3ax^{2}+2bx$

極大になるのは、$h'(x)=0$のときなので、
$3ax^{2}+2bx=0$
より
$(3ax+2b)x=0$
とかける。

よって、$h'(x)$が$0$になるのは、
$x=-\displaystyle \frac{2b}{3a}$,$0$
のとき。

このうち$0$は、図Bを見ると極小になるときの$x$だから、求める答えじゃない。

グラフが極大の赤い点になるのは、
$x=-\displaystyle \frac{2b}{3a}$
のときである。

解答ハ:-, ヒ:2, フ:b, ヘ:3, ホ:a