大学入学共通テスト 2021年(令和3年) 本試 数学ⅠA 第3問 解説

はじめに

事象の名前がいろいろ出てくるから、最初に整理しておく。

$W$は、3回くじをひいて1回当たる事象

$A$は、箱Aが選ばれる事象

$B$は、箱Bが選ばれる事象

$C$は、箱Cが選ばれる事象

$D$は、箱Dが選ばれる事象

を表す。

(1)

(i)

はじめは、普通の反復試行の確率だ。

当たり率$\displaystyle \frac{1}{2}$の箱Aで3回中1回当たる確率、
つまり箱Aで事象$W$が起こる確率を①とすると、
①$=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}\times\frac{3!}{2!}$
または
①$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}\times {}_{3}\mathrm{C}_{1}$
とかける。

これを計算して、
①$=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\frac{3\cdot \cancel{2\cdot 1}}{\cancel{2\cdot 1}}$
   $\displaystyle =\frac{3}{8}$
である。

解答ア:3, イ:8

また、当たり率$\displaystyle \frac{1}{3}$の箱Bで3回中1回当たる確率、
つまり箱Bで事象$W$が起こる確率を②とすると、
②$=\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}\times\frac{3!}{2!}$
または
②$\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}\times {}_{3}\mathrm{C}_{1}$
とかける。

これを計算して、
②$=\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}\times\frac{3\cdot \cancel{2\cdot 1}}{\cancel{2\cdot 1}}$
   $=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot 3$
   $=\displaystyle \frac{4}{9}$
である。

解答ウ:4, エ:9

(ii)

まず、条件付き確率の復習をしておこう。

復習

$W$が起こったときに$A$が起こる条件付き確率$P_{W}(A)$とは、
$W$が起こった場合を全事象としたときの、$A$が起こる確率のことである。

復習

$W$が起こる確率を$P(W)$,$W$と$A$の両方が起こる確率を$P(A\cap W)$とするとき、
$W$が起こったときに$A$が起こる条件付き確率$P_{W}(A)$は、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}$
である。

ということで、$P_{W}(A)$,$P_{W}(B)$を求めるために、
$P(A\cap W)$,$P(B\cap W)$,$P(W)$
を求めよう。


まず、
$P(A\cap W)$
$A$と$W$が両方起こる確率
$=$箱Aが選ばれ、3回中1回当たる確率
$P(B\cap W)$
$B$と$W$が両方起こる確率
$=$箱Bが選ばれ、3回中1回当たる確率
を考える。

箱は無作為に選ぶので、どちらの箱も同じ確率で選ばれる。
なので、事象$A$も$B$も
$\displaystyle \frac{1}{2}$
の確率で起こる。

よって、$P(A\cap W)$は、
$ P(A\displaystyle \cap W)=\frac{1}{2}\times$①
$P(A\displaystyle \cap W)$$\displaystyle =\frac{3}{2\cdot 8}$式A
となる。

同様に、$P(B\cap W)$は、
$ P(B\displaystyle \cap W)=\frac{1}{2}\times$②
$P(B\displaystyle \cap W)$$\displaystyle =\frac{4}{2\cdot 9}$式B
である。


次は、事象$W$が起こる確率$P(W)$だ。

$W$が起こるのは、
箱Aで$W$が起こる($A \cap W$) 箱Bで$W$が起こる($B \cap W$) の2パターンしかない。
なので、
$P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$
とかける。

これに式A,式Bを代入すると、
$P(W) \displaystyle =\frac{3}{2\cdot 8}+\frac{4}{2\cdot 9}$
途中式 $P(W)$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{9}\right)$
$P(W)$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{27+32}{8\cdot 9}$
$P(W)$$\displaystyle =\frac{59}{2\cdot 8\cdot 9}$式C
となる。


復習より、$P_{W}(A)$は、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}$
とかける。
これに式A,式Cを代入して、
$P_{W}(A) \displaystyle =\frac{\frac{3}{\cancel{2 \cdot 8}}}{\frac{59}{\cancel{2\cdot 8} \cdot 9}}$式D
途中式 $P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{3}{\frac{59}{9}}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{3\cdot 9}{59}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{27}{59}$
である。

解答オ:2, カ:7, キ:5, ク:9

同様に、$P_{W}(B)$は
$P_{W}(B)=\displaystyle \frac{P(B\cap W)}{P(W)}$
とかける。
これに式B,式Cを代入して、
$P_{W}(B) \displaystyle =\frac{\frac{4}{\cancel{2 \cdot 9}}}{\frac{59}{\cancel{2} \cdot 8\cdot \cancel{9}}}$式E
途中式 $P_{W}(B)$$\displaystyle =\frac{4}{\frac{59}{8}}$
$P_{W}(B)$$\displaystyle =\frac{4\cdot 8}{59}$
$P_{W}(B)$$\displaystyle =\frac{32}{59}$
となる。

解答ケ:3, コ:2, サ:5, シ:9

ケコサシの別解

復習より、 $P_{W}(A)$は、$W$が起こった場合を全事象としたときの、$A$が起こる確率 $P_{W}(B)$は、$W$が起こった場合を全事象としたときの、$B$が起こる確率 のこと。

上にも書いたけど、事象$W$が起こるのは、
箱Aで事象$W$が起こる($A \cap W$) 箱Bで事象$W$が起こる($B \cap W$) の2パターンしかない。

なので、$P_{W}(A)+P_{W}(B)$は全事象だから、
$P_{W}(A)+P_{W}(B)=1$
である。

これにオカキクを代入して、
$\displaystyle \frac{27}{59} + P_{W}(B)=1$
より
$P_{W}(B)=1-\displaystyle \frac{27}{59}$
$P_{W}(B)$$\displaystyle =\frac{32}{59}$
となる。

解答ケ:3, コ:2, サ:5, シ:9

(2)

見比べやすいように、$P_{W}(A)$,$P_{W}(B)$,①,②を並べて書いてみよう。

式Dより、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot\textcolor{red}{\frac{3}{8}}}{\frac{59}{2\cdot 8\cdot 9}}$
式Eより、
$P_{W}(B)=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot\textcolor{#1e90ff}{\frac{4}{9}}}{\frac{59}{2\cdot 8\cdot 9}}$

より、
①$=\displaystyle \textcolor{red}{\frac{3}{8}}$
より、
②$=\displaystyle \textcolor{#1e90ff}{\frac{4}{9}}$
見比べると、
$P_{W}(A)$の赤い部分は① $P_{W}(B)$の青い部分は② であることが分かる。

よって、$P_{W}(A)$と$P_{W}(B)$の比は、
$P_{W}(A):P_{W}(B)=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot\textcolor{red}{\text{①}}}{\frac{59}{2\cdot 8\cdot 9}}:\frac{\frac{1}{2}\cdot\textcolor{#1e90ff}{\text{②}}}{\frac{59}{2\cdot 8\cdot 9}}$
$P_{W}(A):P_{W}(B)$$=\textcolor{red}{\text{①}}:\textcolor{#1e90ff}{\text{②}}$
となる。
以上より、$P_{W}(A)$と$P_{W}(B)$の比は①と②の比に等しい。

解答ス:3

(3)

(1)(ii)と同様に考えよう。

(1)(i)より、
箱Aで$W$が起こる確率①は、
①$\displaystyle =\frac{3}{8}$
箱Bで$W$が起こる確率②は、
②$\displaystyle =\frac{4}{9}$
だった。

また、当たり率$\displaystyle \frac{1}{4}$の箱Cで$W$が起こる確率を③とすると、
③$=\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)^{2}\times\frac{3\cdot \cancel{2\cdot 1}}{\cancel{2\cdot 1}}$
途中式    $=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot 3$
   $=\displaystyle \frac{3^{3}}{4^{3}}$
   $=\displaystyle \frac{3^{3}}{2^{6}}$
である。


どの箱も、選ばれる確率は
$\displaystyle \frac{1}{3}$
なので、
$P(A\displaystyle \cap W)=\frac{1}{3}\times$①
$P(A\displaystyle \cap W)$$\displaystyle =\frac{3}{3\cdot 8}$式F
$P(B\displaystyle \cap W)=\frac{1}{3}\times$②
$P(B\displaystyle \cap W)$$\displaystyle =\frac{4}{3\cdot 9}$
$P(C\displaystyle \cap W)=\frac{1}{3}\times$③
$P(C\displaystyle \cap W)$$\displaystyle =\frac{3^{3}}{3\cdot 2^{6}}$
とかける。

よって、事象$W$が起こる確率$P(W)$は
$P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)+P(C\cap W)$
より
$P(W)=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{9}+\frac{3^{3}}{2^{6}}\right)$
$P(W)$$=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{9}+\frac{3^{3}}{8^{2}}\right)$
となるけど、$8$,$9$,$8^{2}$の最小公倍数は$8^{2}\cdot 9$なので、$( )$内を通分して、
$P(W)=\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{3\cdot 8\cdot 9+4\cdot 8^{2}+3^{3}\cdot 9}{8^{2}\cdot 9}$
$P(W)$$\displaystyle =\frac{715}{3\cdot 8^{2}\cdot 9}$式G
である。

以上より、求める条件付き確率$P_{W}(A)$は、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}$
に式F,式Gを代入して、
$P_{W}(A) \displaystyle =\frac{\frac{3}{\cancel{3\cdot 8}}}{\frac{715}{\cancel{3} \cdot 8^{\cancel{2}} \cdot 9}}$
途中式 $P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{3}{\frac{715}{8\cdot 9}}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{3\times 8\cdot 9}{715}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{216}{715}$
となる。

解答セ:2, ソ:1, タ:6, チ:7, ツ:1, テ:5

別解

ちょっとフライング気味だけど、事実(*)を使うと次のようになる。

事実(*)より、
$P_{W}(A):P_{W}(B):P_{W}(C)=$①$:$②$:$③
と考えられる。

また、
$P_{W}(A)+P_{W}(B)+P_{W}(C)=1$
である。

このふたつの式から、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{\text{①}}{\text{①}+\text{②}+\text{③}}$式H
と表せる。

あとは計算だ。

①$=\displaystyle \frac{3}{8}$ ②$=\displaystyle \frac{4}{9}$
③$=\displaystyle \frac{3^{3}}{2^{6}}$
   $=\displaystyle \frac{3^{3}}{8^{2}}$
なので、式Hは、
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{8}+\frac{4}{9}+\frac{3^{3}}{8^{2}}}$
とかける。

分母分子に$8$,$9$,$8^{2}$の最小公倍数$8^{2}\cdot 9$をかけて、求める確率は
$P_{W}(A)=\displaystyle \frac{\frac{3}{8}\times 8^{2}\cdot 9}{\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{9}+\frac{3^{3}}{8^{2}}\right)\times 8^{2}\cdot 9}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{3\times 8\cdot 9}{3\times 8\cdot 9+4\times 8^{2}+3^{3}\times 9}$
$P_{W}(A)$$\displaystyle =\frac{216}{715}$
となる。

解答セ:2, ソ:1, タ:6, チ:7, ツ:1, テ:5

(4)

最後は、$W$が起こったとき、選んだ可能性が高い順に箱を並べる問題だ。

$W$が起こったとき、選んだ箱が
Aである確率$P_{W}(A)$ Bである確率$P_{W}(B)$ Cである確率$P_{W}(C)$ Dである確率$P_{W}(D)$ の4つの確率を大きい順に並べて、対応する箱を考えれば答えが出る。

ただし、大小関係だけ分かればいいので、それぞれの確率を正直に求める必要はない。
箱Dで$W$が起こる確率を④とすると、事実(*)より、
$P_{W}(A):P_{W}(B):P_{W}(C):P_{W}(D)$
                 $=$①$:$②$:$③$:$④
となる。
この性質を使って、$P_{W}(A)$~$P_{W}(D)$の代わりに①~④を大きい順に並べる。


これまでの計算から、
①$=\displaystyle \frac{3}{8}$
②$=\displaystyle \frac{4}{9}$
③$=\displaystyle \frac{3^{3}}{8^{2}}$
であるのは分かっている。

また、④は 当たり率$\displaystyle \frac{1}{5}$の箱Dで事象$W$が起こる確率なので、
④$=\displaystyle \left(\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\times\frac{3\cdot \cancel{2\cdot 1}}{\cancel{2\cdot 1}}$
   $=\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}\cdot 3$
   $=\displaystyle \frac{4^{2}\cdot 3}{5^{3}}$
である。


①~④は分母がばらばらの分数なので、そのままでは比較ができない。
比較するためには、
小数にする 分母をそろえる(通分する) 分子をそろえる の3つの方法が考えられるけど、分母や分子をそろえるのは数が大きくなって結構大変だ。
大小関係だけ分かればいいので、ここでは少数にして比較する。

①$=\displaystyle \frac{3}{8}$
   $=3 \div 8$
   $=0.375$
②$=\displaystyle \frac{4}{9}$
   $=4 \div 9$
   $=0.\dot{4}$

③$=\displaystyle \frac{3^{3}}{8^{2}}$
   $=27 \div 64$
   $\doteqdot 0.42$
④$=\displaystyle \frac{4^{2}\cdot 3}{5^{3}}$
   $=48 \div 125$
   $=0.384$

なので、
②$ \gt $③$ \gt $④$ \gt $①
であることが分かる。

よって、可能性が高い順に箱を並べると、
B,C,D,A
となる。

解答ト:8