大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

ア,イ

$f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$
を$x$について整理して、
$f(x)=(1+2a)+(-1-2a)x+(2-a)x$
$f(x)$$=(-1-2a+2-a)x+(1+2a)$
$f(x)$$=(-3a+1)x+2a+1$式A

解答ア:3, イ:1

(1)

式Aは傾き$(-3a+1)$の直線の式。
傾きが正・0・負の3通りに場合分けすると、図A~Cのようなグラフになる。

図A
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第1問[1] 解説図A  
図B
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第1問[1] 解説図B  
図C
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第1問[1] 解説図C

図Aになるのは、傾きが正のときなので、
$0 \lt -3a+1$より
$a \lt \displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
最小値は、式Aの$x$に$0$を代入して、
$2a+1$

図Bになるのは、傾きが0のときなので、
$-3a+1=0$より
$a=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
このとき、$f(x)=2a+1$となるので、最小値も$2a+1$。

図Cになるのは、傾きが負のときなので、
$-3a+1 \lt 0$より、
$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のとき。
最小値は、式Aの$x$に$1$を代入して、
$-3a+1+2a+1=-a+2$

以上をまとめて、$f(x)$の最小値は、
$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$のとき、$2a+1$式B

解答ウ:2, エ:1

$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のとき、$-a+2$式C

解答オ:-, カ:2

である。

(2)

$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$となるためには、最小値が$\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}$以上であればよい。
(1)より、最小値は$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$のときと$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のときで異なるので、場合分けして考える。

式Bより、$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$のときには、
$2a+1\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$
途中式 $3(2a+1)\geqq 2(a+2)$
$6a+3\geqq 2a+4$
$4a\geqq 1$
$a\displaystyle \geqq\frac{1}{4}$
これと$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$の共通部分は、
$\displaystyle \frac{1}{4}\leqq a\leqq\frac{1}{3}$式D

式Cより、$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$のときには、
$-a+2\displaystyle \geqq\frac{2(a+2)}{3}$
途中式 $3(-a+2)\geqq 2(a+2)$
$-3a+6\geqq 2a+4$
$5a\leqq 2$
$a\displaystyle \leqq\frac{2}{5}$
これと$a \gt \displaystyle \frac{1}{3}$の共通部分は、
$\displaystyle \frac{1}{3} \lt a\leqq\frac{2}{5}$式E

式Dと式Eをあわせて、
$\displaystyle \frac{1}{4}\leqq a\leqq\frac{2}{5}$
となる。

解答キ:1, ク:4, ケ:2, コ:5