１次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$92x+197y=1$式Ａ
を解く。

$x$と$y$の係数の$92$と$197$でユークリッドの互除法を行うと、
$197\div92=2\ldots13$式Ｂ1
$92\div13=7\ldots1$式Ｂ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$197-92\cdot2=13$式Ｂ1'
$92-13\cdot7=1$式Ｂ2'

式Ｂ2'に式Ｂ1'を代入して、
$92-(197-92\cdot 2)\cdot 7=1$
$92-197\cdot 7+92\cdot 14=1$
$92\cdot15+197\cdot(-7)=1$式Ｃ
ができる。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$92x$	$+197y$	$=$	$1$
$-)$	$92\cdot15$	$+197\cdot(-7)$	$=$	$1$
	$92(x-15)$	$+197(y+7)$	$=$	$0$

となるから、
$-92(x-15)=197(y+7)$式Ｄ
とかける。

ここで、$92$と$197$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$m$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-15=197m\\y+7=-92m\end{array}\right.$
より、
$\left\{\begin{array}{l}x=197m+15\\y=-92m-7\end{array}\right.$式Ｅ
でなければならない。

ここでは、解のうち$x$の絶対値が最小のものを問われているので、$x=0$付近を探せばよい。
式Ｅに$x=0$を代入して、
$197m+15=0$
$m=\displaystyle -\frac{15}{197}$
$m$は整数なので、$\displaystyle -\frac{15}{197}$に一番近い整数のとき、$x$の絶対値が最小になる。
よって、$m=0$のとき、
式Ｅより、求める解は
$\left\{\begin{array}{l}x=15\\y=-7\end{array}\right.$
である。

解答ア：１, イ：５, ウ：－, エ：７

次に、
$92x+197y=10$式Ｆ
で、同様のことをする。
ただし、すでに式Ｃができているので、互除法は行わない。

式Ｃの両辺を$10$倍して、
$92\cdot 150+197(-70)=10$式Ｃ'

式Ｆから式Ｃ'を辺々引くと、

	$92x$	$+197y$	$=$	$10$
$-)$	$92\cdot150$	$+197\cdot(-70)$	$=$	$10$
	$92(x-150)$	$+197(y+70)$	$=$	$0$

となるから、
$92(x-150)=-197(y+70)$
とかける。

ここで、$92$と$197$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$n$を整数として、
$\left\{\begin{array}{l}x-150=-197n\\y+70=92n\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=-197n+150\\y=92n-70\end{array}\right.$式Ｇ
でなければならない。

ここでは、解のうち$x$の絶対値が最小のものを問われているので、$x=0$付近を探せばよい。
式Ｇに$x=0$を代入して、
$-197n+150=0$
$n=\displaystyle \frac{150}{197}$
$n$は整数なので、$\displaystyle \frac{150}{197}$に一番近い整数のとき、$x$の絶対値が最小になる。
よって、$n=1$のとき、
式Ｇより、求める解は
$\left\{\begin{array}{l}x=-47\\y=22\end{array}\right.$
である。

解答オ：－, カ：４, キ：７, ク：２, ケ：２

２進法を４進法に変換するのは簡単。
４は２の２乗なので、２進数の２桁が４進数の１桁で表せる。
どうせパターンは$2^{2}=4$通りしかないし、はじめに変換表を作っておこう。

表Ａ

２進法	４進法
00	0
01	1
10	2
11	3

あとは、この表を見ながら数字を置き換えてゆくだけだ。
11011を２桁ごとに区切ると
1/10/11
となる。先頭の1は、01と書いた方が分かりやすいかも知れない。
表Ａより、
$01_{(2)}$は$1_{(4)}$に、
$10_{(2)}$は$2_{(4)}$に、
$11_{(2)}$は$3_{(4)}$に、それぞれ変換できるので、
$11011_{(2)}=123_{(4)}$
である。

解答コ：１, サ：２, シ：３

まず最初に、６進法の小数の各桁の意味を確認しておこう。

復習

６進数の、
小数第１位は、$\displaystyle \frac{1}{6}$の位。
小数第２位は、$\displaystyle \frac{1}{6^{2}}$の位。
小数第３位は、$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}$の位。

なので、例えば$0.123_{(6)}$は、10進法で
$0.123_{(6)}=\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{6^{2}}+\frac{3}{6^{3}}$
通分して、
$0.123_{(6)}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6^{2}\cdot 1}{6^{3}}+\frac{6\cdot 2}{6^{3}}+\frac{3}{6^{3}}$
$0.123_{(6)}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6^{2}\cdot 1+6\cdot 2+3}{6^{3}}$
分母分子を因数分解して、
$0.123_{(6)}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3(6\cdot 2+2\cdot 2+1)}{3^{3}\cdot 2^{3}}$
$0.123_{(6)}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\cdot 17}{3^{3}\cdot 2^{3}}$式Ｇ
とかける。

今回は10進法の小数にするので、分母の素因数が２と５だけになれば有限小数で表せる。
式Ｇの場合、約分しても分母に$3^{2}$が残るので、有限小数にはならないことが分かる。

ちょっと長くなったけど、同じことを選択肢の０～５でやってみる。

以上より、有限小数になるのは０，３，５である。

解答ス：０, セ：３, ソ：５ （順不同）