大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅡＢ 第２問 解説
(1)
図Ａで青い斜線の部分が図形$D$。
図形$D$の面積$S$は、
$S=\displaystyle \int_{a}^{a+1}\left\{\left(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}x^{2}\right\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\int_{a}^{a+1}\left(\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}\right)dx$
解答ア：４, イ：２
これをさらに計算して、
$S=\left[\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}x\right]_{a}^{a+1}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4\cdot 3}\{(a+1)^{3}-a^{3}\}+\frac{1}{2}\{(a+1)-a\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}$式Ａ
解答ウ：４, エ：４, オ：７, カ：１, キ：２
式Ａを平方完成する。
$S=\displaystyle \frac{1}{4}\left(a^{2}+a\right)+\frac{7}{4\cdot 3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\left\{\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right\}+\frac{7}{4\cdot 3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{25}{48}$
より、
$S$は、$a=-\displaystyle \frac{1}{2}$のとき最小値$\displaystyle \frac{25}{48}$。
解答ク：－, ケ：１, コ：２, サ：２, シ：５, ス：４, セ：８
(2)
$C_{1}$の式に$y=1$を代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}=1$
$x=\pm 1$
解答ソ：１
$C_{2}$の式に$y=1$を代入して、
$\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}=1$
$x=\pm 2$
解答タ：２
$C_{2}$のグラフが$y=1$よりも上になるとき（図Ｂ）は、$R$と$D$には共通部分がなくなる。
なので、$R$と$D$の共通部分が空集合にならないのは、
$0\leqq a\leqq 2$
のとき。
解答チ：２
図形の変化は「アニメーション開始」 を押して確認。
$a=$
図形の変化は、スライダーを動かして確認。
$a=1$から$a=2$まで$a$が増加するとき、グラフは図Ｃのように変化する。図中のオレンジ色の部分の面積が$T$。
図Ｃより、$a$が増加すると$T$は減少することが分かる。
解答ツ：１
$0\leqq a\leqq 1$のとき、$T$は図Ｄのようになる。
図中の空色の部分の面積$U$は、
$U=\displaystyle \int_{1}^{a+1}\left\{\left(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\right)-1\right\}dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{1}^{a+1}(x^{2}-1)dx$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}-x\right]_{1}^{a+1}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{6}+\frac{a^{2}}{2}$式B
解答テ：６, ト：２
$T=D-U$なので、式Ａ，Ｂより、
$T=\left(\frac{a^{2}}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}\right)-\left(\frac{a^{3}}{6}+\frac{a^{2}}{2}\right)$
$T\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{6}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}a+\frac{7}{12}$
解答ナ：６, ニ：４, ヌ：４
最後に、$T$が最大になるときの$a$を求める。
式Ｃを微分して、
$T'=\displaystyle \frac{1}{12}(-6a^{2}-6a+3)$
$T'=-\displaystyle \frac{1}{4}(2a^{2}+2a-1)$
$T'=0$になるのは$2a^{2}+2a-1=0$のとき。
そのときの$a$は、解の公式より
$a=\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)}}{2\cdot 2}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}(1+2)}}{2\cdot 2}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot 2}$
$a\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$
である。
$0\leqq a\leqq 1$の範囲$T$の増減表を書くと、表Ｅができる。
| $a$ | $0$ | $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $T'$ | $+$ | $0$ | - | ||
| $T$ | $\nearrow$ | $\searrow$ |
表Ｅより、$T$は$a=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$のときに最大となる。
解答ネ：－, ノ：１, ハ：３, ヒ：２