大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説

問題を解く準備

表A
$1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\{a_{n}\}$ $n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $\cdots$ (3) $\cdots$ (2)
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{2}{4}$ $\frac{3}{4}$ $\cdots$ (4) $\cdots$ (5)
群の 項数 $1$ $2$ $3$ $\cdots$ (1)
$\cdots$ (6)

表Aに必要な情報をまとめた。
最初に、表の色のついたマスをうめてゆこう。

まず、(1)。
第$1$群が項数$1$,第$2$群が項数$2$,第$3$群が項数$3$なので、第$m$群は項数$m$だって考えられるから、(1)のマスには$m$が入る。

次に、(2)。
第$m$群の末項の$n$、つまり第$m$群の末項が$\{a_{n}\}$の何項目にあたるかを考える。
第$m$群の末項の$n$は、$1$~$m$群に含まれる項数の和なので、
$(2)=1+2+3+4+5+\cdots+m$
$(2)\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{k=1}^{m}k$
$(2)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{m(m+1)}{2}$
である。

(2)が分かれば(3)は簡単だ。
第$m$群の初項は、第$(m-1)$群の末項の次の項。
第$(m-1)$群の末項は、(2)より
$\displaystyle \frac{(m-1)m}{2}$
なので、
$(3)=\displaystyle \frac{m(m-1)}{2}+1$
$(3)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{m^{2}-m+2}{2}$
となる。

(4),(5)は計算するまでもなく、第$1$群~第$3$群から推測できるように、
$(4)=\displaystyle \frac{1}{m+1}$
$(5)=\displaystyle \frac{m}{m+1}$
である。

(6)は第$m$群に含まれる項の和だ。
第$m$群に含まれる項は、初項$\displaystyle \frac{1}{m+1}$,末項$\displaystyle \frac{m}{m+1}$,項数$m$の等差数列なので、等差数列の和の公式より、
$(6)=\displaystyle \frac{1}{2}m\left(\frac{1}{m+1}+\frac{m}{m+1}\right)$
$(6)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}m$
となる。


表B
$1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\{a_{n}\}$ $n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $\cdots$ $\frac{m^{2}-m+2}{2}$ $\cdots$ $\frac{m(m+1)}{2}$
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{2}{4}$ $\frac{3}{4}$ $\cdots$ $\frac{1}{m+1}$ $\cdots$ $\frac{m}{m+1}$
群の 項数 $1$ $2$ $3$ $\cdots$ $m$
$\cdots$ $\frac{1}{2}m$

以上を書き込み、表を完成させたのが表Bである。
さて、ここまで表が出来たところで、問題を解こう。

(1)

$a_{15}$の値を求めるのだけれど、真面目に解くとそれなりに手間がかかるし、どうせ後の(2)で真面目に解かなきゃいけない問題が出てくるし、今は安直に解こう。つまり、$15$項目まで全部書く。(笑)

表C
$a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ $a_{5}$ $a_{6}$ $a_{7}$ $a_{8}$ $a_{9}$ $a_{10}$ $a_{11}$ $a_{12}$ $a_{13}$ $a_{14}$ $a_{15}$
$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{2}{4}$ $\displaystyle \frac{3}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{2}{5}$ $\displaystyle \frac{3}{5}$ $\displaystyle \frac{4}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{6}$ $\displaystyle \frac{2}{6}$ $\displaystyle \frac{3}{6}$ $\displaystyle \frac{4}{6}$ $\displaystyle \frac{5}{6}$

表Cより、$a_{15}=\displaystyle \frac{5}{6}$である。

解答ア:5, イ:6

分母に初めて$8$が現れる項は、第7群の初項。
表Bより、第7群の初項の$n$は$\displaystyle \frac{7^{2}-7+2}{2}$なので、$22$。
よって、$a_{22}$。

解答ウ:2, エ:2

(2)

表Bより、第$m$群の初項は$\displaystyle \frac{1}{m+1}$なので、$\displaystyle \frac{1}{k}$は第$(k-1)$群の初項。
なので、$\displaystyle \frac{1}{k}$が初めて現れる項は、第$(k-1)$群の初項である。
結局、$M_{k}$を求めるには、第$(k-1)$群の初項の$n$を求めればよい。

表Bより第$m$群の初項の$n$は$\displaystyle \frac{m^{2}-m+2}{2}$なので、これに$m=k-1$を代入して、
$M_{k}=\displaystyle \frac{(k-1)^{2}-(k-1)+2}{2}$
$M_{k}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}k^{2}-\frac{3}{2}k+2$

解答オ:1, カ:2, キ:3, ク:2, ケ:2

次に$N_{k}$だ。
$M_{k}$と同じように考えると、$\displaystyle \frac{k-1}{k}$が初めて現れる項は第$k-1$群の末項。
表Bより第$m$群の末項の$n$は$\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}$なので、これに$m=k-1$を代入して、
$N_{k}=\displaystyle \frac{(k-1)k}{2}$
$N_{k}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}k^{2}-\frac{1}{2}k$

解答コ:1, サ:2, シ:1, ス:2


以下を解くのにオ~スで求めた$M_{k}$,$N_{k}$を使ってもいいんだけれど、これまで表Bを使って解いてきたので、このまま表Bの式を使う。$M_{k}$,$N_{k}$と表現は違うけれど、実はやっていることは同じだ。

$a_{104}$の値を求めるためには、$a_{104}$が第何群の第何項目かが分かればよい。

まず、第何群に含まれるか考えよう。
表Bより第$m$群の初項の$n$は$\displaystyle \frac{m^{2}-m+2}{2}$、末項の$n$は$\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}$なので、$a_{104}$が第$m$群に含まれるとき、
$\displaystyle \frac{m^{2}-m+2}{2}\leqq 104\leqq\frac{m(m+1)}{2}$
である。

これを解く。
各辺に$2$をかけて、
$(m-1)m+2\leqq 208\leqq m(m+1)$
あとは適当に数字を代入してみる。

$m=15$のとき、
$14\cdot 15+2\not\leqq 208\leqq 15\cdot 16$
あ、大きすぎた。
$m=14$のとき、
$13\cdot 14+2\leqq 208\leqq 14\cdot 15$
で、成り立つ。
なので、$a_{104}$は第$14$群に含まれる。
よって、分母は15。

次は、$a_{104}$が第$14$群の何項目かを考える。
第14群の初項は、
$\displaystyle \frac{(14-1)14}{2}+1=92$
より、$a_{92}$。
$104-92=12$
より、$a_{104}$は$a_{92}$の$12$項後ろ。
初項から$12$項後ろなので、13項目ということが分かる。
よって、分子は13。

以上より、$a_{104}=\displaystyle \frac{13}{15}$である。

解答セ:1, ソ:3, タ:1, チ:5

(3)

「数列$\{a_{n}\}$の第$M_{k}$項から第$N_{k}$項までの和」は、「第$(k-1)$群の初項から末項までの和」と同じ意味なので、第$(k-1)$群に含まれる項の和を求めればよい。
表Bより、第$m$群に含まれる項の和は$\displaystyle \frac{1}{2}m$なので、これに$m=k-1$を代入して、
$\displaystyle \frac{1}{2}(k-1)=\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}$
となる。

解答ツ:1, テ:2, ト:1, ナ:2

「数列$\{a_{n}\}$の初項から第$N_{k}$項までの和」は、「第1群から第$(k-1)$群までの和」と言いかえられるので、これを求めよう。
表Bより、第$m$群に含まれる項の和は$\displaystyle \frac{1}{2}m$なので、求める和は
$\displaystyle \sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{2}m$
とかける。
これを計算して、
$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(k-1)(k-1+1)$
$=\displaystyle \frac{1}{4}k(k-1)$式A
$=\displaystyle \frac{1}{4}k^{2}-\frac{1}{4}k$
となる。

解答ニ:1, ヌ:4, ネ:1, ノ:4


表D
$1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\{a_{n}\}$ $n$ $1$ $2$ $3$ $\cdots$ $\cdots$ $91$ $92$ $\cdots$ $103$ $104$ $105$
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\cdots$ $\frac{1}{14}$ $\cdots$ $\frac{13}{14}$ $\frac{1}{15}$ $\cdots$ $\frac{12}{15}$ $\frac{13}{15}$ $\frac{14}{15}$
群の 項数 $1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\cdots$

最後に$\displaystyle \sum_{n=1}^{103}a_{n}$を求めるのだけど、(2)で$a_{104}$は第14群の13項目だった。
よって、$\displaystyle \sum_{n=1}^{103}a_{n}$は、$a_{1}$から第14群の12項目までの和なので、表Dの赤い斜線の部分の和になる。

この解き方は2通り考えられて、 解法1
第1群から第13群の和に、第14群の初項から12項目までの和を加える。
解法2
第1群から第14群の和から、第14群の13項目・14項目を引く。
ここでは、両方とも解説する。

解法1

表E
$1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\{a_{n}\}$ $n$ $1$ $2$ $3$ $\cdots$ $\cdots$ $91$ $92$ $\cdots$ $103$ $104$ $105$
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\cdots$ $\frac{1}{14}$ $\cdots$ $\frac{13}{14}$ $\frac{1}{15}$ $\cdots$ $\frac{12}{15}$ $\frac{13}{15}$ $\frac{14}{15}$
群の 項数 $1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\cdots$

表Eの黄色い部分の和と青い部分の和をたして、赤い斜線の部分の和を求める。

まず、黄色い部分の和から。
式Aより、第1群から第$(k-1)$群の和は、$\displaystyle \frac{1}{4}k(k-1)$。
第1群から第$13$群の和は$(k-1)=13$になればよいので、
$k=14$
これを式Aに代入して、
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 14(14-1)=\frac{91}{2}$式B

青い部分の和は、
初項$\displaystyle \frac{1}{15}$
末項$\displaystyle \frac{12}{15}$
項数$12$
の等差数列の和なので、等差数列の和の公式より、
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 12\left(\frac{1}{15}+\frac{12}{15}\right)$
$=\displaystyle \frac{6\cdot 13}{15}$
$=\displaystyle \frac{26}{5}$式C

式B+式Cより、赤い斜線の部分の和は、
$\displaystyle \frac{91}{2}+\frac{26}{5}$
$=\displaystyle \frac{507}{10}$
となる。

解答ハ:5, ヒ:0, フ:7, ヘ:1, ホ:0

解法2

表F
$1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\{a_{n}\}$ $n$ $1$ $2$ $3$ $\cdots$ $\cdots$ $91$ $92$ $\cdots$ $103$ $104$ $105$
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\cdots$ $\frac{1}{14}$ $\cdots$ $\frac{13}{14}$ $\frac{1}{15}$ $\cdots$ $\frac{12}{15}$ $\frac{13}{15}$ $\frac{14}{15}$
群の 項数 $1$ $2$ $\cdots$ $13$ $14$
$\cdots$

表Fの黄色い部分の和から$a_{104}$と$a_{105}$をひいて、赤い斜線の部分の和を求める。

まず、黄色い部分の和から。
式Aより、第1群から第$(k-1)$群の和は、$\displaystyle \frac{1}{4}k(k-1)$。
第1群から第$14$群の和は$(k-1)=14$になればよいので、
$k=15$
これを式Aに代入して、
$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 15(15-1)=\frac{105}{2}$

これから$a_{104}$と$a_{105}$をひくので、
$\displaystyle \frac{105}{2}-\left(\frac{13}{15}+\frac{14}{15}\right)$
$=\displaystyle \frac{507}{10}$
である。

解答ハ:5, ヒ:0, フ:7, ヘ:1, ホ:0

アドバイス

解説を読むと分かるけれど、最初に表Bが出来れば、群数列は決して難しくない。なので、表Bが自分で作れるようにマスターしてほしい。
「表Bが作れるかどうかで群数列の問題を解けるかどうかが決まる」と言っても過言ではない。
群数列については、このページも参照。