大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅡＢ 第１問 [2] 解説
(1)
①の両辺に$\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x$をかけるのだけど、式がややこしくなるので
$\sin^{2}x=S$
$\cos^{2}x=C$
と書くことにする。
$SC\left\{C-S+k\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{S}\right)\right\}=0$
$SC(C-S)+k(S-C)=0$
$SC(C-S)-k(C-S)=0$
$(SC-k)(C-S)=0$
となる。
この$S$，$C$をもとにもどして、
$(\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x-k)(\cos^{2}x-\sin^{2}x)=0$
$\{(\sin x\cdot\cos x)^{2}-k\}(\cos^{2}x-\sin^{2}x)=0$式Ａ
である。
ここで、２倍角の公式の復習をすると、
公式
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$式Ｂ1
$\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$式Ｂ2
$\cos 2\theta$$=1-2\sin^{2}\theta$式Ｂ3
$\cos 2\theta$$=2\cos^{2}\theta-1$
$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$
より、式Ｂ1，式Ｂ2をちょっと変形して
$\displaystyle \sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$
$\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x$
として、式Ａに代入すると、
$\left(\frac{\sin^{2}2x}{4}-k\right)\cos 2x=0$②
となる。
解答チ：４
②が成り立つためには
$\cos 2x=0$
または
$\displaystyle \frac{\sin^{2}2x}{4}-k=0$式Ｃ
であればよい。
$\cos 2x=0$のとき、$k$の値に関係なく②が成り立つから、①も成り立つ。
まず、この場合を解決しておこう。
問題文より、$x$の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$
なので、$2x$の範囲は
$ 0 \lt 2x \lt \pi$
である。
この範囲で$\cos 2x=0$となるのは、
$2x=\displaystyle \frac{\pi}{2}$
つまり
$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$
のときである。
解答ツ：４
次に、式Ｃの場合を考える。
式Ｃを変形して、
$\sin^{2}2x=4k$式Ｃ'
とする。
確認だけど、問題文より
$0 \lt k$
である。
$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$より$ 0 \lt 2x \lt \pi$なので、
$0 \lt \sin 2x\leqq 1$
より
$0 \lt \sin^{2}2x\leqq 1$
となる。
だから、
$1 \lt 4k$
つまり
$\displaystyle \frac{1}{4} \lt k$
のとき、式Ｃ'は解をもたない。
このとき、①の解は、ツの
$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$
の１個だけである。
解答テ：１, ト：４
アドバイス
次に、これ以外の場合、つまり
$0 \lt k\displaystyle \leqq\frac{1}{4}$
のときの式Ｃ'の解の個数を求めるんだけど、解法がいくつか考えられる。
どの方法も一長一短なので、長くなるけど３種類説明する。
解法１
$0 \lt \sin 2x$
$0 \lt k$
なので、$2x=\theta$とおくと、式Ｃ'は
$\sin \theta=2\sqrt{k}$式Ｄ
とかける。
$\theta$の範囲、つまり定義域は
$ 0 \lt 2x \lt \pi$
より
$ 0 \lt \theta \lt \pi$
なので、グラフを描くと図Ａができる。
グラフ中の緑の範囲が定義域だ。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ａ](_image/2B_1_2_01.svg)
式Ｄの右辺の$2\sqrt{k}$が、
$0 \lt 2\sqrt{k} \lt 1$
のとき、グラフは図Ｂのようになる。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｂ](_image/2B_1_2_02.svg)
$0 \lt 2\sqrt{k} \lt 1$だと分かりにくいので、各辺を２乗して、
$0 \lt 4k \lt 1$
各辺を$4$で割って、
$0 \lt k \lt \displaystyle \frac{1}{4}$
と変形しておこう。
このとき、式Ｄを満たすのは、図Ｂの赤い点の２個。
また、ツより
$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$
も解だけど、これは
$2x=\displaystyle \frac{\pi}{2}$
と変形すると、
$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$
で、図Ｂのオレンジの点になるから、赤い点とは重ならない。
よって、このとき、①を満たす$x$の個数は３個ある。
解答ナ：３
式Ｄの右辺の$2\sqrt{k}$が、
$2\sqrt{k}=1$
のとき、グラフは図Ｃのようになる。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｃ](_image/2B_1_2_03.svg)
今回も$2\sqrt{k}=1$を変形して、
$k=\displaystyle \frac{1}{4}$
としておこう。
このとき、式Ｄを満たすのは、図Ｃの赤い点の１個。
これは、ツの
$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{2}$
と同じ点で、重解である。
よって、このとき、①を満たす$x$の個数は１個である。
解答ニ：１
式Ｄの右辺の$2\sqrt{k}$が、
$2\sqrt{k}\leqq 0$と$1 \lt 2\sqrt{k}$の場合については、
$0 \lt \sqrt{k}$なので、$2\sqrt{k}\leqq 0$にはならない
$1 \lt 2\sqrt{k}$を変形すると$\displaystyle \frac{1}{4} \lt k$だけど、これはテトで解決済み
なので、考えなくてよい。
解法２
２倍角の公式の復習の式Ｂ3をちょっと変形して、
$\cos 4x=1-2\sin^{2}2x$
$2\sin^{2}2x=1-\cos 4x$
$\displaystyle \sin^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$
として、式Ｃ'に代入すると
$\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{2}=4k$
となる。
これを変形して、$4x=\theta$とおくと、
$\cos \theta=1-8k$式Ｅ
ができる。
$\theta$の範囲、つまり定義域は
$ 0 \lt 4x \lt 2\pi$
より
$ 0 \lt \theta \lt 2\pi$
なので、グラフを描くと図Ｄができる。
グラフ中の緑の範囲が定義域だ。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｄ](_image/2B_1_2_04.svg)
式Ｅの右辺の$1-8k$が、
$-1 \lt 1-8k \lt 1$
のとき、グラフは例えば図Ｅのようになる。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｅ](_image/2B_1_2_05.svg)
$-1 \lt 1-8k \lt 1$だと分かりにくいので、変形して、
$-2 \lt -8k \lt 0$
$\displaystyle \frac{1}{4} \gt k \gt 0$
$0 \lt k \lt \displaystyle \frac{1}{4}$
としておこう。
このとき、式Ｅを満たすのは、図Ｅの赤い点の２個。
また、ツより
$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$
も解だけど、これは
$ 4x=\pi$
より
$ \theta=\pi$
と変形すると、図Ｅのオレンジの点になるから、赤い点とは重ならない。
よって、このとき、①を満たす$x$の個数は３個ある。
解答ナ：３
式Ｅの右辺の$1-8k$が、
$1-8k=-1$
のとき、グラフは図Ｆのようになる。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｆ](_image/2B_1_2_06.svg)
$1-8k=-1$を変形して、
$k=\displaystyle \frac{1}{4}$
としておこう。
このとき、式Ｅを満たすのは、図Ｃの赤い点の１個。
これは、ツの
$ \theta=\pi$
と同じ点で、重解である。
よって、このとき、①を満たす$x$の個数は１個である。
解答ニ：１
式Ｅの右辺の$1-8k$が、
$1-8k \lt -1$と$1\leqq 1-8k$の場合については、
$1-8k \lt -1$を変形すると$\displaystyle \frac{1}{4} \lt k$だけど、これはテトで解決済み
$1\leqq 1-8k$より$k\leqq 0$だけど、問題文より$0 \lt k$だから、$k\leqq 0$にはならない
なので、考えなくてよい。
解法３
２倍角の公式の復習の式Ｂ3をちょっと変形して、
$\cos 4x=1-2\sin^{2}2x$
$2\sin^{2}2x=1-\cos 4x$
$\displaystyle \sin^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$
として、式Ｃ'に代入すると
$\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{2}=4k$
となる。
これを変形して、
$\cos 4x=1-8k$式Ｅ'
ができる。
ここまでは解法２と同じだ。
この式Ｅ'の解の個数を考える。
式Ｅ'を、連立方程式
$y=\cos 4x$式Ｅ1
$y=1-8k$式Ｅ2
を解いている途中式だと考える。
このとき、式Ｅ'の方程式の解は、式Ｅ1，Ｅ2の連立方程式の解である。
また、連立方程式の解は、２つのグラフの共有点の座標に等しい。
よって、式Ｅ'の解の個数は、式Ｅ1，Ｅ2のグラフの共有点の個数である。
というわけで、式Ｅ1のグラフを描く。
さらに、ツより、$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$のときには$k$の値にかかわらず①が成り立つので、
$x=\displaystyle \frac{\pi}{4}$
のグラフもいっしょに描くと、図Ｇができる。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｇ](_image/2B_1_2_07.svg)
図Ｇを見ながら、グラフの共有点の数を考えるわけだ。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｈ](_image/2B_1_2_08.svg)
例えば、$1-8k=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき、
式Ｅ2は
$y=\displaystyle \frac{1}{2}$
となる。
これをグラフに書き込むと、図Ｈのオレンジの直線になる。
オレンジの直線と黒いグラフの共有点は３個。
よって、このとき、①を満たす$x$は３個ある。
また、同様に、
$1-8k=-1$のとき、
式Ｅ2のグラフは図Ｈの赤い直線で、黒いグラフとの共有点は１個。
よって、このとき、①を満たす$x$は１個。
である。
一方、問題文より$k$は正の数なので、
$0 \lt k$
だから
$1-8k \lt 1$
である。
![大学入試センター試験2016年追試 数学ⅡＢ第１問[2] 解説図Ｉ](_image/2B_1_2_09.svg)
よって、$y=1-8k$のグラフが、図Ｉの、
黄色の範囲のとき、解は１個
赤い線と重なるとき、解は１個
オレンジの範囲のとき、解は３個
グレーの範囲に入ることはない
である。
以上をまとめると、
$1-8k \lt -1$
つまり
$\displaystyle \frac{1}{4} \lt k$のとき、
解は１個。
解答テ：１, ト：４
$1-8k=-1$
つまり
$\displaystyle \frac{1}{4}=k$のとき、
解は１個。
解答ニ：１
$-1 \lt 1-8k \lt 1$
つまり
$0 \lt k \lt \displaystyle \frac{1}{4}$のとき、
解は３個である。
解答ナ：３
(2)
式Ｃ'に$k=\displaystyle \frac{4}{25}$を代入して、
$\displaystyle \sin^{2} 2x=4 \cdot \frac{4}{25}$
$\displaystyle \sin^{2}2x=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt 2x \lt \pi$より$0 \lt \sin 2x$なので、
$\displaystyle \sin 2x=\frac{4}{5}$
解答ヌ：４, ネ：５
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$なので、
$\sin^{2}2x+\cos^{2}2x=1$
$\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\cos^{2}2x=1$
$\displaystyle \cos^{2}2x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$
$\cos^{2}2x$$\displaystyle =\frac{5^{2} - 4^{2}}{5^{2}}$
$\cos^{2}2x$$\displaystyle =\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt 2x \lt \pi$なので、$\cos 2x \lt 0$だから、
$\displaystyle \cos 2x=-\frac{3}{5}$式Ｆ
解答ノ：－, ハ：３, ヒ：５
ここで、半角公式の復習をしよう。
復習
$\displaystyle \sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$
$\displaystyle \cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$式Ｇ
$\displaystyle \tan^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$
だった。
式Ｇの$\theta$に$2x$を代入して、
$\displaystyle \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
これに式Ｆを代入して、
$\displaystyle \cos^{2}x=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}$
$\displaystyle \cos^{2}x$$\displaystyle =\frac{1}{5}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4} \lt x \lt \frac{\pi}{2}$なので、$0 \lt \cos x$だから、
$\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle \cos x$$\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{5}$
となる。
解答フ：５, ヘ：５