図Ａで、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=3\cdot 2\cdot\cos 60^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$$=3$式Ａ

解答ア：３

$\vec{b}\cdot\vec{c}=2\cdot 2\cdot\cos 60^{\circ}$
$\vec{b}\cdot\vec{c}$$=2$式Ｂ

解答イ：２

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$
これに$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$を代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left\{(1-t)\vec{b}+t\vec{c}\right\}-s\vec{a}$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$=-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$式Ｃ
となる。

よって、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}=\left(-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}\right)$
               $\cdot\left(-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}\right)$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}$$=s^{2}\left|\vec{a}\right|^{2}+(1-t)^{2}\left|\vec{b}\right|^{2}+t^{2}\left|\vec{c}\right|^{2}$
            $-2s(1-t)\vec{a}\cdot\vec{b}-2st\vec{a}\cdot\vec{c}+2t(1-t)\vec{b}\cdot\vec{c}$
式Ａ，式Ｂを代入して、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}$$=9s^{2}+4(1-t)^{2}+4t^{2}$
            $-3\cdot 2s(1-t)-3\cdot 2st+2\cdot 2t(1-t)$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}$$=9s^{2}-6s+4t^{2}-4t+4$
$s$，$t$それぞれ平方完成して、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}$$=(3s-1)^{2}+(2t-1)^{2}+2$式Ｄ
となる。

解答ウ：３, エ：１, オ：２, カ：１, キ：２

$0\leqq(3s-1)^{2}$，$0\leqq(2t-1)^{2}$なので、式Ｄが最小となるのは
$\left\{\begin{array}{l}
(3s-1)^{2}=0\\
(2t-1)^{2}=0
\end{array}\right.$
のとき。つまり、
$\left\{\begin{array}{l}
s=\frac{1}{3}\\
t=\frac{1}{2}
\end{array}\right.$式Ｅ
のとき。

解答ク：１, ケ：３, コ：１, サ：２

このとき、式Ｄは
$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}=2$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\sqrt{2}$

解答シ：２

ここまでの内容を、図Ｂにまとめた。

式Ｃより、
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$
これに式Ｅを代入して、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle =-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$
また、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$
なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\vec{a}\cdot\left(-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right)$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle =-\frac{1}{3}\left|\vec{a}\right|^{2}+\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{c}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$\displaystyle =-\frac{9}{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$
より、$\angle \mathrm{PAQ}=90^{\circ}$である。

解答ス：０, セ：９, ソ：０

よって、$\triangle \mathrm{APQ}$の面積は、$\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ より、
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$
となる。

解答タ：２

また、$\mathrm{G}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の重心なので、
$\mathrm{AG}:\mathrm{QG}=2:1$
となるから、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{2+1}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}$$\displaystyle=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$
とかける。

解答チ：１, ツ：３, テ：２, ト：３, ナ：２

以上より、
$\displaystyle \triangle \mathrm{GPQ}=\frac{1}{3}\triangle \mathrm{APQ}$
なので、
$\displaystyle \triangle \mathrm{GPQ}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
である。

解答ニ：２, ヌ：３