$\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$より$\triangle \mathrm{DAC}$は二等辺三角形なので、
$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{DCA}$
同じ弧に対する円周角は等しいので、
$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{DBC}$，$\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DBA}$
以上より
$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DBA}$

解答ア：０

$\mathrm{BD}$は$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線になるので、
$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$$=2:1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{E}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}=\frac{1}{2}$

解答イ：１, ウ：２

ちょっと分かりにくいので、これまでに分かったことを図Bにまとめた。

赤い斜線の三角形と直線$\mathrm{FG}$にメネラウスの定理を使うと、
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{F}}{\mathrm{F}\mathrm{A}}\cdot\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{E}\mathrm{C}}\cdot\frac{\mathrm{G}\mathrm{C}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}=1$
$\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{\mathrm{G}\mathrm{C}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{C}}{\mathrm{D}\mathrm{G}}=\frac{1}{3}$
となる。

解答エ：１, オ：３

図Cで、三角形$\mathrm{AGD}$にチェバの定理を使うと、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{G}\mathrm{C}}\cdot\frac{\mathrm{F}\mathrm{A}}{\mathrm{D}\mathrm{F}}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{4}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}=1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{3}=1$
$\mathrm{BG}=3$
である。

解答カ：３

$\mathrm{DC}=x$とおくと、$\mathrm{DC}:\mathrm{GC}=2:1$なので、$\displaystyle \mathrm{GC}=\frac{x}{2}$。
方べきの定理より、
$\mathrm{GC}\cdot \mathrm{GD}=\mathrm{GB}\cdot \mathrm{GA}$
$\displaystyle \frac{x}{2}\left(\frac{x}{2}+x\right)=3\cdot(3+4)$
$\displaystyle \frac{x}{2}\cdot\frac{3x}{2}=3\cdot 7$
$x^{2}=2^{2}\cdot 7$
$0 \lt x$なので、
$x=2\sqrt{7}$
となる。

解答キ：２, ク：７

四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺で、最長は$\mathrm{AB}$の$4$。なので、外接円の直径は$4$未満にはならない。
よって、外接円の直径の最小値は$4$で、図Dのような図形になる。

解答ケ：４

赤い斜線の三角形について、
直径に対する円周角は$90^{\circ}$
$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=2:1$
より、$30^{\circ}60^{\circ}$の直角三角形であることが分かる。
なので、$\angle \mathrm{BAC}=30^{\circ}$である。

解答コ：３, サ：０

図Dの赤い三角形は$30^{\circ}60^{\circ}$の直角三角形なので、$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$。
$\mathrm{BE}$は$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線なので、図中の○は$30^{\circ}$。
よって$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{ACD}$となり、錯角が等しいので$\mathrm{AB} // \mathrm{CD}$である。

平行線の性質より、
$\mathrm{EA}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{CD}$
$\mathrm{EA}:\mathrm{EC}=\mathrm{AH}:\mathrm{CG}$
なので、
$\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=\mathrm{AH}:\mathrm{CG}$
これを変形して、
$\mathrm{CD}\cdot \mathrm{AH}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CG}$
$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=\mathrm{CD}:\mathrm{CG}$
より、
$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=2:1$
よって、
$\mathrm{AH}=2$

解答シ：２

シについては、このほか何通りかの解法が考えられる。