大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

表A
$Y$ $2-Y$ $X$
0 2 -2
1 1 2
2 0 6

起こり得るのは、表Aの3パターン。

解答ア:2, イ:2, ウ:6

それぞれの確率を求めると、
$Y=0$のとき、
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$
$Y=1$のとき、
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot 2!=\frac{4}{9}$
または
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}=\frac{4}{9}$
$Y=2$のとき、
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$

解答エ:4, オ:9, カ:4, キ:1

(2)

正の向きの移動の回数が$Y$。
1回の移動で$+3$動くから、$Y$回では$+3Y$動く。
負の向きの移動の回数は$(n-Y)$。
1回の移動で$-1$動くから、$(n-Y)$回では$-(n-Y)$動く。
これをあわせて、$n$回での移動の和$X$は、
$X=3Y-(n-Y)$
$X$$=-n+4Y$式A
である。

解答ク:-, ケ:4

復習

ここで二項分布の復習をしておこう。
$n$回の試行をしたとき、確率$p$で起こる独立な事象が何回起こるかは、二項分布$B(n,p)$に従う。
$B(n,p)$の
平均(期待値)$\mu=np$ 分散$\sigma^{2}=np(1-p)$ だった。

これじゃ分かりにくいと思うので、もうちょっと説明する。
上の説明を言いかえると、表Bのような確率変数$R$があったとき、

表B
$R$ $0$ $1$ $\cdots$ $n$
確率 ${}_{n}\mathrm{C}_{0}\cdot p^{0}\cdot(1-p)^{n}$ ${}_{n}\mathrm{C}_{1}\cdot p^{1}\cdot(1-p)^{n-1}$ $\cdots$ ${}_{n}\mathrm{C}_{n}\cdot p^{n}\cdot(1-p)^{0}$ $1$

$R$の
平均(期待値)$E(R)=np$ 分散$V(R)=np(1-p)$ である。

確率変数$Y$は、二項分布$B(n,p)$に従うので、
平均(期待値)$E(Y)=np$ 分散$V(Y)=np(1-p)$式B である。

解答コ:0, サ:1

復習

確率変数の変換の復習もしておく。
確率変数$R$を使って
$Q=aR+b$ ただし、$a$,$b$は定数
とするとき、
$E(Q)=aE(R)+b$ $V(Q)=a^{2}V(R)$ となる。

なので、式Aより、
$X=4Y-n$
のとき、$X$の平均$E(X)$,分散$V(X)$は、
$E(X)=4E(Y)-n$ $V(X)=4^{2}V(Y)$ となるから、これに式Bを代入して、
$E(X)=4np-n$ $V(X)=16np(1-p)$ である。

解答シ:9, ス:8

(3)

式Bに、$n=1200$,$p=\displaystyle \frac{1}{4}$を代入して、
$E(Y)=1200\displaystyle \cdot\frac{1}{4}$
$E(Y)$$=300$

解答セ:3, ソ:0, タ:0

$V(Y)=1200\displaystyle \cdot\frac{1}{4}\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)$
$V(Y)\displaystyle $$\displaystyle =1200\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}$
$V(Y)$$=225$
なので、
標準偏差$\sigma(Y)$は、
$\sigma(Y)=\sqrt{225}$
$\sigma(Y)$$=15$
となる。

解答チ:1, ツ:5


テトナの式を見ると、
左辺は$X$が120以上になる確率$P(X\geqq 120)$ 右辺は$Y$の式 なので、$P(X\geqq 120)$を$Y$で表すようだ。
$120\leqq X$に式Aを代入して、
$120\leqq 4Y-1200$
$30\leqq Y-300$
$330\leqq Y$
より、
$P(X\geqq 120)=P(Y\geqq 330)$式C
とかける。
ちなみに、この式の意味は「$X$が120以上であるためには、$Y$が330以上であればよい」だ。

これで$P(X\geqq 120)$を$Y$で表せたけど、問題文のマスには入らない。

問題文を見ると、式Cの$Y$にあたる部分が
$\displaystyle \frac{Y-E(Y)}{\sigma(Y)}$
になっていて、標準化されていることが分かる。

なので、式Cの右辺を標準化して、
$P(X\geqq 120)=P\left(\frac{Y-E(Y)}{\sigma(Y)}\geqq\frac{330-E(Y)}{\sigma(Y)}\right)$
$P(X\geqq 120)$$=P\left(\frac{Y-300}{15}\geqq\frac{330-300}{15}\right)$
$P(X\geqq 120)$$=P\left(\frac{Y-300}{15}\geqq 2.00\right)$式D
である。

解答テ:2, ト:0, ナ:0


復習

$n$が十分に大きい数であるとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(n-p))$で近似できる
だった。

図C
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅡB第5問 解説図C

1200は十分に大きい数であり、式Dの右辺は標準化されているので確率変数$Y$の平均値は$0$,標準偏差は$1$だから、式Dは標準正規分布で近似できる。
問題の後についている正規分布表で$z_{0}=2.00$を探すと、$0.4772$。
これは図Cの緑の部分。

今ほしいのはオレンジの部分で、青い斜線の部分は$0.5000$だから、
$0.5000-0.4772=0.0228$
問題文のマスは小数点以下3桁になっているので、$0.0228$を小数第4ケタで四捨五入して、
$0.023$
となる。

解答ニ:0, ヌ:2, ネ:3

(4)

式Aより、$n=2400$回の試行後の$X$が$1440$であるとき、
$1440=-2400+4Y$
$4Y=3840$
$Y=960$
となり、$2400$回中$960$回、確率$p$が起こったことになる。

このときの確率は$r=\displaystyle \frac{960}{2400}=\frac{2}{5}$だけど、これは標本比率が$\displaystyle \frac{2}{5}$であると言いかえられる。
これから、母比率$p$を求める問題である。

復習

標本比率を$R$,標本の大きさを$n$とすると、母比率$p$を推定する式は、
$\displaystyle R-z\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}\leqq p\leqq R+z\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$
ただし、$z$は
信頼度95%のとき、$1.96$
信頼度99%のとき、$2.58$
だった。

これを使えば、
$\displaystyle \frac{2}{5}-1.96\sqrt{\frac{\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{5}\right)}{2400}}\leqq p\leqq\frac{2}{5}+1.96\sqrt{\frac{\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{5}\right)}{2400}}$
$0.4-0.0196\leqq p\leqq 0.4+0.0196$
$0.3804\leqq p\leqq 0.4196$
問題文のマスは小数点以下3桁になっているので、小数第4位で四捨五入して、
$0.380\leqq p\leqq 0.420$
である。

解答ノ:3, ハ:8, ヒ:0, フ:4, ヘ:2, ホ:0

アドバイス

これだと なぜ答えが出るのか全く分からないので、こちらのページで原理を説明してある。ただし、復習の式を使わずに原理から解くと結構手間がかかる。なので、センター試験本番では上の解説のように公式を使って解くことをおすすめする。