大学入試センター試験 2016年(平成28年) 本試 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

図A
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図A

正弦定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}=2R$
なので、
$2R=\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\cdot 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$R=7$
である。

解答ア:7

(1)

$2\mathrm{PA}=3\mathrm{PB}$から$\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{2}{3}\mathrm{PA}$なので、
$\mathrm{PA}=x$式A
とおくと、
$\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{2}{3}x$式A
とかける。

$\triangle \mathrm{PAB}$に余弦定理を使って、
$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{PB}^{2}-2\cdot \mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}\cdot\cos\angle \mathrm{APB}$
これに式Aと$\mathrm{AB}=7\sqrt{3}$,$\angle \mathrm{APB}=60^{\circ}$を代入して、
$x^{2}+\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^{2}-2\cdot x\cdot\frac{2}{3}x\cdot\frac{1}{2}=\left(7\sqrt{3}\right)^{2}$
両辺に$3^{2}$をかけて、
$9x^{2}+4x^{2}-6x^{2}=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot\left(7\sqrt{3}\right)^{2}$
$7x^{2}=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3$
$x^{2}=3^{2}\cdot 7\cdot 3$
$0 \lt x$なので、
$x=3\sqrt{7\cdot 3}=3\sqrt{21}$
である。

解答イ:3, ウ:2, エ:1

アドバイス

$2\mathrm{PA}=3\mathrm{PB}$から、$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=3:2$なので、
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{P}\mathrm{A}=3\mathrm{x}\\ \mathrm{P}\mathrm{B}=2\mathrm{x} \end{array}\right.$
とおいて余弦定理の公式に代入すると
$(3x)^{2}+(2x)^{2}-2\displaystyle \cdot 3x\cdot 2x\cdot\frac{1}{2}=\left(7\sqrt{3}\right)^{2}$
となって、最初から分数のない式が作れる。
けれど、これを
$9x^{2}+4x^{2}-6x^{2}=7^{2}\cdot 3$
$7x^{2}=7^{2}\cdot 3$
$x^{2}=7\cdot 3$
$0 \lt x$なので、
$x=\sqrt{21}$
と解いたとき、この$\sqrt{21}$がウエだと勘違いしやすい。それで、マスに合わないと思って動揺したりすると、センター試験本番では大きな失点につながりかねない。
なので、あまり式がややこしくならなければ、求める値を$x$とおく方がお薦めである。

(2)

図B
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図B

$\triangle \mathrm{PAB}$を、$\mathrm{AB}$が底辺、$\mathrm{P}$が頂角と考える。
$\mathrm{AB}$の長さは決まっているので、面積が最大になるのは高さが最大になるとき。
つまり、図Bのように、点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき。

このとき、$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$,$\angle \mathrm{APB}$は$60^{\circ}$なので、$\triangle \mathrm{PAB}$は正三角形になる。
なので、$\mathrm{PA}=7\sqrt{3}$。

解答オ:7, カ:3

(3)

復習

三角比の値の範囲は、
$-1\leqq\sin\theta\leqq 1$
$-1\leqq\cos\theta\leqq 1$
だった。

なので、$\sin\angle \mathrm{PBA}$の値が$1$になることがあれば、それが最大値だ。

図C
大学入試センター試験2016年本試 数学ⅠA第2問[1] 解説図C

$\sin\angle \mathrm{PBA}=1$のとき$\angle \mathrm{PBA}=90^{\circ}$なので、点$\mathrm{P}$が図Cの位置にあればよい。
よって、$\sin\angle \mathrm{PBA}$が最大になるのは図Cのとき。

このとき、$\mathrm{PA}$は円$\mathrm{O}$の直径。
アより、円$\mathrm{O}$の半径は$7$なので、$\mathrm{PA}=14$である。

解答キ:1, ク:4

$\triangle \mathrm{PAB}$は、$\mathrm{PB}:\mathrm{PA}:\mathrm{AB}=1:2:\sqrt{3}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \mathrm{PB}=\frac{1}{2}\mathrm{PA}=7$
三角形の面積$=\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ より、
$\displaystyle \triangle \mathrm{PAB}=\frac{1}{2}\cdot 7\sqrt{3}\cdot 7$
$\displaystyle \triangle \mathrm{PAB}$$\displaystyle =\frac{49\sqrt{3}}{2}$
である。

解答ケ:4, コ:9, サ:3, シ:2