$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}$の分母分子に$\sqrt{3}-1$をかけて、
$k=\displaystyle \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$
$k\displaystyle $$\displaystyle=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1}$
$k\displaystyle $$\displaystyle=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{2}$
$k$$=3(\sqrt{3}-1)$式Ａ
$k$$=3\sqrt{3}-3$式Ｂ
である。

解答ア：３, イ：３, ウ：３

$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$を、式Ａに代入して、
$k\doteqdot 3(1.73-1)$
これを計算すると
$k$$=3(0.73)$
$k$$=2.19$式Ｃ
になるので、整数部分は$2$である。

解答エ：２

アドバイス

$\sqrt{2}$や$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$は値を知っているはずなので、あれこれ考えるよりも代入した方が早い。
この問題の場合は
$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$
を代入するのだけど、式Ｂに代入するよりも式Ａに代入した方が計算が楽だ。
一般的に、値を代入するときは、展開した式Ｂの形よりも、因数分解した式Ａの形の方が計算が早いことが多い。

右辺の絶対値の中を
$(\sqrt{3}+1)x-12=A$
とおくと、不等式は
$6\geqq|A|$式Ｄ
と書ける。

これは、絶対値の単元で最初に学習した
$|x|\leqq 3$
とかと同じ形だ。
なので、式Ｄの絶対値をはずすと
$-6\leqq A\leqq 6$
である。

この式の$A$をもとにもどして、
$-6\leqq(\sqrt{3}+1)x-12\leqq 6$
各辺に$12$をたして、
$6\leqq(\sqrt{3}+1)x\leqq 18$
各辺を$\sqrt{3}+1$で割って
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}\leqq x\leqq\frac{18}{\sqrt{3}+1}$式Ｅ
である。

(1)より、
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}=k$
なので、式Ｅを
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}+1}\leqq x\leqq\frac{6}{\sqrt{3}+1}\times 3$
と変形すると
$k\leqq x\leqq 3k$式Ｆ
と書ける。

ここで、式Ｂより$k=3\sqrt{3}-3$なので、
$3\sqrt{3}-3\leqq x\leqq 3(3\sqrt{3}-3)$
$3\sqrt{3}-3\leqq x\leqq 9\sqrt{3}-9$
である。

解答オ：３, カ：３, キ：３, ク：９, ケ：３, コ：９

また、式Ｃより
$k\doteqdot 2.19$
なので、これを式Ｆに代入すると、
$2.19\leqq x\leqq 3\times 2.19$
$2.19\leqq x\leqq 6.57$
となるから、この不等式を満たす整数は
$3$，$4$，$5$，$6$
の４個である。

解答サ：４