大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試 数学ⅠＡ 第３問 [2] 解説

アドバイス

大学入試センター試験2017年追試 数学ⅠＡ第３問[2] 解説図

この問題も、第３問[1]と同様に、表が大きくなってしまうので表で解くのは難しい。
なので、これも計算で解く方法を解説した。

解説

まず、それぞれの壺から数字１が出る確率をまとめておこう。

Ａ型の壺が選ばれる確率は、$\displaystyle \frac{2}{3}$ Ａ型の壺から数字１が出る確率は、$\displaystyle \frac{1}{4}$ Ｂ型の壺が選ばれる確率は、$\displaystyle \frac{1}{3}$ Ｂ型の壺から数字１が出る確率は、$\displaystyle \frac{2}{4}$

なので、

Ａ型の壺から数字１が出る確率は
$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$ Ｂ型の壺から数字１が出る確率は
$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{6}$

となる。

このことから、
Ａ型から１が出る確率$=$Ｂ型から１が出る確率式Ａ
であることが分かる。

次に、２回の試行で２回とも数字１が出るパターンを考えると、

表Ａ
パターン １回目 ２回目
Ａ Ａ型から１が出る Ａ型から１が出る
Ｂ Ａ型から１が出る Ｂ型から１が出る
Ｃ Ｂ型から１が出る Ａ型から１が出る
Ｄ Ｂ型から１が出る Ｂ型から１が出る

の４通りのパターンがあることが分かる。
式Ａより、Ａ型から１が出る確率とＢ型から１が出る確率は等しいので、４つのパターンは同じ確率で起こることになる。

条件付き確率は、

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$、事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
だった。

今回は、
$P(A)$は取り出された数字が２回とも１である確率確率Ａ $P(A\cap B)$は、１回目にＢ型の壺から１が出、２回目はＡ型・Ｂ型どっちでもいいから１が出る確率確率Ｂ である。

確率Ａは、表Ａの４つのパターン全部。
確率Ｂは、表ＡのパターンＣとＤ。
この４つのパターンは同じ確率で起こるので、
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}=\frac{\text{確率Ｂ}}{\text{確率Ａ}}$
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}$$\displaystyle =\frac{2}{4}$
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

解答チ：１, ツ：２

別解

表Ａの４つのパターンはすべて同じ確率で起こるので、上の解説では確率Ａ，確率Ｂの値は必要ないので求めなかった。
これを求めて解くと、次のようになる。

すべてのパターンの確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6^{2}}$
なので、
確率Ａ$=\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\times 4$
確率Ｂ$=\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\times 2$
となる。

よって、
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}=\frac{\text{確率Ｂ}}{\text{確率Ａ}}$

途中式 $\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}$$\displaystyle =\frac{\frac{1}{6^{2}}\times 2}{\frac{1}{6^{2}}\times 4}$
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}$$\displaystyle =\frac{2}{4}$
$\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

解答チ：１, ツ：２