問題文中の、Ａ組の得点と$\overline{w}$の差の２乗の和の式を展開すると、
チ$=(x_{1}-\overline{w})^{2}+(x_{2}-\overline{w})^{2}+\cdots+(x_{m}-\overline{w})^{2}$
   $=\{x_{1}^{2}-2x_{1}\overline{w}+(\overline{w})^{2}\}+\{x_{2}^{2}-2x_{2}\overline{w}+(\overline{w})^{2}\}+$
              $\cdots+\{x_{m}^{2}-2x_{m}\overline{w}+(\overline{w})^{2}\}$
   $=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m}^{2})$
           $-2\overline{w}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})$
              $+\{(\overline{w})^{2}+(\overline{w})^{2}+\cdots+(\overline{w})^{2}\}$
   $=($$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m}^{2}$$)$
         $-2\overline{w}($$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}$$)+m(\overline{w})^{2}$式Ａ
とかける。

また、問題文中の$S_{A}^{2}$の式を変形すると、
$S_{A}^{2}=\displaystyle \frac{1}{m}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m}^{2})-(\overline{x})^{2}$
$\displaystyle \frac{1}{m}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m}^{2})=S_{A}^{2}+(\overline{x})^{2}$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m}^{2}=m\{S_{A}^{2}+(\overline{x})^{2}\}$式Ｂ
となる。

さらに、Ａ組の平均点$\overline{x}$は、
$\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{m}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})$
である。これを変形すると、
$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}=m\overline{x}$式Ｃ
となる。

式Ａの赤い部分は式Ｂと、青い部分は式Ｃと等しいから、それぞれ代入して、
チ$=(x_{1}-\overline{w})^{2}+(x_{2}-\overline{w})^{2}+\cdots+(x_{m}-\overline{w})^{2}$
   $=m\{S_{A}^{2}+(\overline{x})^{2}\}-2\overline{w}m\overline{x}+m(\overline{w})^{2}$
これを変形すると、
チ$=m\{S_{A}^{2}+(\overline{x})^{2}-2\overline{w}\cdot\overline{x}+(\overline{w})^{2}\}$
   $=m\{S_{A}^{2}+(\overline{x}-\overline{w})^{2}\}$
   $=mS_{A}^{2}+m(\overline{x}-\overline{w})^{2}$
となるので、正解は③である。

解答チ：３

以上より、Ａ組の得点と$\overline{w}$の差の２乗の和は
$mS_{A}^{2}+m(\overline{x}-\overline{w})^{2}$式Ｄ
とかける。

このことから、Ｂ組の得点と$\overline{w}$の差の２乗の和は、式Ｄの
組の分散$S_{A}$を$S_{B}$に 組の平均点$\overline{x}$を$\overline{y}$に 組の人数$m$を$n$に おきかえた、
$nS_{B}^{2}+n(\overline{y}-\overline{w})^{2}$式Ｅ
であると考えられる。

分散は偏差の２乗の平均なので、得点と$\overline{w}$の差の２乗の平均。
また、
Ａ組の得点と$\overline{w}$の差の２乗の和は式Ｄ Ｂ組の得点と$\overline{w}$の差の２乗の和は式Ｅ だから、式Ｄと式Ｅをたして、人数$(m+n)$で割れば、分散$S^{2}$になる。
よって、
$S^{2}=\displaystyle \frac{\text{式Ｄ}+\text{式Ｅ}}{m+n}$式Ｆ
とかける。

式がややこしくて面倒なので、式Ｆの分子の、式Ｄ$+$式Ｅ の部分だけ計算すると、
分子$=mS_{A}^{2}+m(\overline{x}-\overline{w})^{2}+nS_{B}^{2}+n(\overline{y}-\overline{w})^{2}$
      $=mS_{A}^{2}+m\{(\overline{x})^{2}-2\overline{x}\cdot\overline{w}+(\overline{w})^{2}\}$
               $+nS_{B}^{2}+n\{(\overline{y})^{2}-2\overline{y}\cdot\overline{w}+(\overline{w})^{2}\}$
      $=mS_{A}^{2}+m(\overline{x})^{2}-2m\overline{x}\cdot\overline{w}+m(\overline{w})^{2}$
               $+nS_{B}^{2}+n(\overline{y})^{2}-2n\overline{y}\cdot\overline{w}+n(\overline{w})^{2}$
      $=mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}$
               $+m(\overline{w})^{2}+n(\overline{w})^{2}-2m\overline{x}\cdot\overline{w}-2n\overline{y}\cdot\overline{w}$
      $=mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}+(m+n)(\overline{w})^{2}$
               $-2\overline{w}($$m\overline{x}+n\overline{y}$$)$式Ｇ

ここで、式Ｇの赤い部分について考えてみると、
$m\overline{x}$はＡ組の人数$\times$平均点だから、Ａ組の合計点 $n\overline{y}$はＢ組の人数$\times$平均点だから、Ｂ組の合計点 なので、$m\overline{x}+n\overline{y}$は両方の組の合計点である。
よって、
$m\overline{x}+n\overline{y}=(m+n)\overline{w}$
とかける。

これを式Ｇに代入して、
分子$=mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}$
               $+(m+n)(\overline{w})^{2}-2\overline{w}(m+n)\overline{w}$
      $=mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}$
               $+(m+n)(\overline{w})^{2}-2(m+n)(\overline{w})^{2}$
      $=mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}-(m+n)(\overline{w})^{2}$
なので、式Ｆとあわせて、
$S^{2}=\displaystyle \frac{mS_{A}^{2}+nS_{B}^{2}+m(\overline{x})^{2}+n(\overline{y})^{2}-(m+n)(\overline{w})^{2}}{m+n}$
となる。
よって、正解は④である。

解答ツ：４