大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試 数学ⅠA 第1問 [3] 解説

(1)

$y=g(x)$のグラフが直線になるのは、$g(x)$が一次式または定数になるとき。
言いかえれば、$x^{2}$の係数が$0$になるとき。
つまり、
$a+1=0$
$a=-1$
のとき。

解答ソ:-, タ:1

このとき、
$f(x)=3x^{2}+2x-1$
$f(x)$$=(x+1)(3x-1)$
なので、$y=f(x)$と$x$軸の交点は
$(-1,0)$と$\left(\frac{1}{3},0\right)$
である。

解答チ:-, ツ:1, テ:1, ト:3

(2)

$f(x)+g(x)$を計算すると、

$f(x)$ $=$ $(1-2a)x^{2}$ $+2x$ $-a-2$
$+$ $g(x)$ $=$ $(a+1)x^{2}$ $+ax$ $-1$
$f(x)+g(x)$ $=$ $(2-a)x^{2}$ $+(2+a)x$ $-a-3$

である。
よって、
$(2-a)x^{2}+(2+a)x-a-3=0$式A
がただ一つの実数解をもつ場合を考える。

アドバイス

実数解の個数の問題なので判別式を使うのだけど、式Aのように最高次の項の係数に文字が入っているときは要注意だった。

つまり、
$(2-a)=0$
のときには、式Aは一次方程式になるので、判別式は使えない。

なので、
式Aが二次方程式のとき 式Aが一次方程式のとき の2通りに場合分けをして解かないといけない。

$2-a\neq 0$ つまり $a\neq 2$ のとき

式Aは二次方程式になる。
これがただ一つの実数解をもつので、判別式より、
$D=(2+a)^{2}-4(2-a)(-a-3)=0$
途中式 $D=$$(4+4a+a^{2})+4(6-a-a^{2})=0$
$D=$$(4+4a+a^{2})+(24-4a-4a^{2})=0$
$D=$$ 28-3a^{2}=0$
$D=$$ 3a^{2}=28$
$D=\displaystyle $$\displaystyle a^{2}=\frac{28}{3}$
$D=\displaystyle $$\displaystyle a=\pm\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$
$D=\displaystyle $$\displaystyle a=\pm\frac{2\sqrt{21}}{3}$
である。

解答ナ:2, ニ:2, ヌ:1, ネ:3

$2-a=0$ つまり $a=2$ のとき

式Aは一次方程式になって、
$4x-5=0$
とかける。
この解は
$x=\displaystyle \frac{5}{4}$
のただ一つである。
よって、$a$の値が$2$のときも、$f(x)+g(x)=0$はただ一つの実数解をもつ。

解答ノ:2