真数条件より、真数は正なので
$0 \lt 3^{x}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$
という式ができる。

アドバイス

指数・対数の問題では、まず底をそろえるのが基本。

ということで、まず底をそろえよう。
$0 \lt 3^{x}-(3^{-1})^{x}$
$0 \lt 3^{x}-3^{-x}$
これを変形して
$3^{-x} \lt 3^{x}$
底の$3$は$1$より大きいので、
$-x \lt x$
$0 \lt 2x$
$0 \lt x$
である。

解答ツ：０

また、$x \lt y$のとき、

式Ｂの両辺に$-1$をかけて、
$-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \lt -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}$
これと式Ａを辺々たして、

	$3^{x}$	$ \lt $	$3^{y}$
$+)$	$-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$	$ \lt $	$-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}$
	$3^{x}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$	$ \lt $	$3^{y}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}$

この式の、底が$3$の対数をとる。
底$3$は$1$より大きいので、不等号の向きは変わらない。
$\log_{3}\left\{3^{x}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\right\} \lt \log_{3}\left\{3^{y}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}\right\}$
よって、
$p \lt q$
である。

解答ナ：０

ここで、$p$の式を整理しておこう。
$$ \begin{align} p&=\log_{3}\left\{3^{x}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\right\}\\ &=\log_{3}\left(3^{x}-\dfrac{1}{3^{x}}\right)\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ とかける。
ちょっと式が簡単になった。

今は
$x=\log_{3}4$
のときを考えるんだけど、これをそのまま$p$の式に代入すると面倒なことになりそう。
なので、少し変形しておこう。

復習

$a^{b}=c\ \Leftrightarrow\ \log_{a}c=b$
だった。

これを憶えていれば、上の式は
$3^{x}=4$式Ｄ
と簡単に分かる。

この方法が思いつかないときは、ちょっと計算をしないといけない。
$x=\log_{3}4$
の式は変形出来ない。
理由は、右辺は対数で左辺はそうじゃないから。
なら、左辺も対数にしよう、ってのが基本的な考えだ。

$\log_{3}3=1$
なので、$x$にかけても値は変わらない。
$x\times\log_{3}3=\log_{3}4$
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}4$
だから、
$3^{x}=4$式Ｄ
である。

式Ｄを式Ｃに代入して、
$p=\log_{3}\left(4-\dfrac{1}{4}\right)$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{p}&=\log_{3}\dfrac{15}{4}\\ &=\log_{3}\dfrac{3\cdot 5}{4}\\ &=\log_{3}3+\log_{3}5-\log_{3}4\\ &=\log_{3}3+\log_{3}5-\log_{3}2^{2}\\ &=1+\log_{3}5-2\log_{3}2 \end{align} $$

$\phantom{p}=\log_{3}5-2\log_{3}2+1$
となる。

解答ニ：５, ヌ：２, ネ：１

次に、
$p=\log_{3}4$
のときを考える。これを式Ｃに代入して、
$\log_{3}\left(3^{x}-\dfrac{1}{3^{x}}\right)=\log_{3}4$
より、方程式
$3^{x}-\dfrac{1}{3^{x}}=4$
ができる。これを解く。

式を簡単にするために、$3^{x}=X$とおくと、
$X-\dfrac{1}{X}=4$
$X\neq 0$なので、両辺を$X$倍して分母を払う。
$X^{2}-1=4X$
$X^{2}-4X-1=0$
解の公式より、
$$ \begin{align} X&=\dfrac{4\pm\sqrt{4^{2}-4(-1)}}{2}\\ &=2\pm\sqrt{4+1}\\ &=2\pm\sqrt{5} \end{align} $$ $X=3^{x}$なので、$0 \lt X$だから、
$X=2+\sqrt{5}$
となる。

この$X$をもとにもどして、
$3^{x}=2+\sqrt{5}$式Ｅ
復習より、
$x=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ：２, ハ：５

式Ｅからの別解

式Ｅの両辺の、底が$3$の対数をとって、
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
$x\log_{3}3=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
$\log_{3}3=1$なので、
$x=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ：２, ハ：５

$y=2x-1$をそのまま$q$の式に代入してもいいんだけど、ややこしい式が出来そうだから、下ごしらえをしておこう。

(2)の最初に$p$の式を変形したのと同じことをする。
$$ \begin{align} q&=\log_{3}\left\{3^{y}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{y}\right\}\\ &=\log_{3}\left(3^{y}-\dfrac{1}{3^{y}}\right)\class{tex_formula}{式Ｆ} \end{align} $$ ちょっと式が簡単になった。

ついでに、$3^{y}$も変形しておこう。
$y=2x-1$なので、
$$ \begin{align} 3^{y}&=3^{2x-1}\\ &=3^{2x}\times 3^{-1}\\ &=(3^{x})^{2}\times\dfrac{1}{3}\\ &=\dfrac{(3^{x})^{2}}{3} \end{align} $$

ここで、$3^{x}=X$とすると、
$3^{y}=\dfrac{X^{2}}{3}$
とかける。

以上を式Ｃ，式Ｆに代入すると
$p=\log_{3}\left(X-\dfrac{1}{X}\right)$
$q=\log_{3}\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)$
となる。
これを$q=2p-1$に代入すると、方程式
$\log_{3}\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)=2\log_{3}\left(X-\dfrac{1}{X}\right)-1$
ができる。

これを解くんだけど、右辺の$-1$だけが対数じゃないから面倒だ。
$1=\log_{3}3$
なので、これを代入して対数にしておこう。
$\begin{aligned}\log_{3}&\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)\\&\hspace{60px}=2\log_{3}\left(X-\dfrac{1}{X}\right)-\log_{3}3\end{aligned}$

これを変形して、
$\log_{3}\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)+\log_{3}3=\log_{3}\left(X-\dfrac{1}{X}\right)^{2}$
$\log_{3}\left\{3\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)\right\}=\log_{3}\left(X-\dfrac{1}{X}\right)^{2}$

両辺の真数をとって、
$3\left(\dfrac{X^{2}}{3}-\dfrac{3}{X^{2}}\right)=\left(X-\dfrac{1}{X}\right)^{2}$
$X^{2}-\dfrac{9}{X^{2}}=\left(X-\dfrac{1}{X}\right)^{2}$

両辺に$X^{2}$をかけて、
$X^{4}-9=(X^{2}-1)^{2}$
$X^{4}-9=X^{4}-2X^{2}+1$
$2X^{2}=10$
$X^{2}=5$

$X=3^{x}$なので、$0 \lt X$だから、
$X=\sqrt{5}$
となる。

もう一息だ。

$X$をもとにもどして、
$3^{x}=\sqrt{5}$式Ｇ

復習より、
$$ \begin{align} x&=\log_{3}\sqrt{5}\\ &=\log_{3}5^{\dfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{1}{2}\log_{3}5 \end{align} $$ である。

解答ヒ：５, フ：２

式Ｇからの別解

式Ｇの、両辺の底が$3$の対数をとって、
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}\sqrt{5}$
$x\log_{3}3=\log_{3}\sqrt{5}$
$\log_{3}3=1$なので、
$$ \begin{align} x&=\log_{3}\sqrt{5}\\ &=\log_{3}5^{\dfrac{1}{2}}\\ &=\dfrac{1}{2}\log_{3}5 \end{align} $$ である。

解答ヒ：５, フ：２