大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

(1)

真数条件より、真数は正なので
$0 \lt 3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$
という式ができる。

アドバイス

指数・対数の問題では、まず底をそろえるのが基本。

ということで、まず底をそろえよう。
$0 \lt 3^{x}-(3^{-1})^{x}$
$0 \lt 3^{x}-3^{-x}$
これを変形して
$3^{-x} \lt 3^{x}$
底の$3$は$1$より大きいので、
$-x \lt x$
$0 \lt 2x$
$0 \lt x$
である。

解答ツ:0


また、$x \lt y$のとき、

底の$3$は$1$より大きいので、
$3^{x} \lt 3^{y}$式A
である。

解答テ:0

底の$\displaystyle \frac{1}{3}$は$1$より小さいので、
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \gt \left(\frac{1}{3}\right)^{y}$式B
である。

解答ト:2

式Bの両辺に$-1$をかけて、
$-\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \lt -\left(\frac{1}{3}\right)^{y}$
これと式Aを辺々たして、

$3^{x}$ $ \lt $ $3^{y}$
$+)$ $-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ $ \lt $ $-\left(\frac{1}{3}\right)^{y}$
$3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ $ \lt $ $3^{y}-\left(\frac{1}{3}\right)^{y}$

この式の、底が$3$の対数をとる。
底$3$は$1$より大きいので、不等号の向きは変わらない。
$\log_{3}\left\{3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right\} \lt \log_{3}\left\{3^{y}-\left(\frac{1}{3}\right)^{y}\right\}$
よって、
$p \lt q$
である。

解答ナ:0

(2)

ここで、$p$の式を整理しておこう。
$p=\log_{3}\left\{3^{x}-\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right\}$
$p$$=\log_{3}\left(3^{x}-\frac{1}{3^{x}}\right)$式C
とかける。
ちょっと式が簡単になった。


今は
$x=\log_{3}4$
のときを考えるのだけど、これをそのまま$p$の式に代入すると面倒なことになりそう。
なので、少し変形しておこう。

復習

$a^{b}=c\ \Leftrightarrow\ \log_{a}c=b$
だった。

これを憶えていれば、上の式は
$3^{x}=4$式D
と簡単に分かる。

この方法が思いつかないときは、ちょっと計算をしないといけない。
$x=\log_{3}4$
の式は変形出来ない。
理由は、右辺は対数で左辺はそうじゃないから。
なら、左辺も対数にしよう、ってのが基本的な考えだ。

$\log_{3}3=1$
なので、$x$にかけても値は変わらない。
$x\times\log_{3}3=\log_{3}4$
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}4$
だから、
$3^{x}=4$式D
である。

式Dを式Cに代入して、
$p=\log_{3}\left(4-\frac{1}{4}\right)$
途中式 $p\displaystyle $$\displaystyle =\log_{3}\frac{15}{4}$
$p\displaystyle $$\displaystyle =\log_{3}\frac{3\cdot 5}{4}$
$p$$=\log_{3}3+\log_{3}5-\log_{3}4$
$p$$=\log_{3}3+\log_{3}5-\log_{3}2^{2}$
$p$$=1+\log_{3}5-2\log_{3}2$
$p$$=\log_{3}5-2\log_{3}2+1$
となる。

解答ニ:5, ヌ:2, ネ:1


次に、
$p=\log_{3}4$
のときを考える。これを式Cに代入して、
$\log_{3}\left(3^{x}-\frac{1}{3^{x}}\right)=\log_{3}4$
より、方程式
$3^{x}-\displaystyle \frac{1}{3^{x}}=4$
ができる。これを解く。

式を簡単にするために、$3^{x}=X$とおくと、
$X-\displaystyle \frac{1}{X}=4$
$X\neq 0$なので、両辺を$X$倍して分母を払う。
$X^{2}-1=4X$
$X^{2}-4X-1=0$
解の公式より、
$X=\displaystyle \frac{4\pm\sqrt{4^{2}-4(-1)}}{2}$
$X$$=2\pm\sqrt{4+1}$
$X$$=2\pm\sqrt{5}$
$X=3^{x}$なので、$0 \lt X$だから、
$X=2+\sqrt{5}$
となる。

この$X$をもとにもどして、
$3^{x}=2+\sqrt{5}$式E
復習より、
$x=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ:2, ハ:5

式Eからの別解

式Eの両辺の、底が$3$の対数をとって、
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
$x\log_{3}3=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
$\log_{3}3=1$なので、
$x=\log_{3}(2+\sqrt{5})$
である。

解答ノ:2, ハ:5

(3)

$y=2x-1$をそのまま$q$の式に代入してもいいんだけど、ややこしい式が出来そうだから、下ごしらえをしておこう。

(2)の最初に$p$の式を変形したのと同じことをする。
$q=\log_{3}\left\{3^{y}-\left(\frac{1}{3}\right)^{y}\right\}$
$q$$=\log_{3}\left(3^{y}-\frac{1}{3^{y}}\right)$式F
ちょっと式が簡単になった。

ついでに、$3^{y}$も変形しておこう。
$y=2x-1$なので、
$3^{y}=3^{2x-1}$
$3^{y}$$=3^{2x}\times 3^{-1}$
$3^{y}\displaystyle $$\displaystyle =(3^{x})^{2}\times\frac{1}{3}$
$3^{y}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{(3^{x})^{2}}{3}$

ここで、$3^{x}=X$とすると、
$3^{y}=\displaystyle \frac{X^{2}}{3}$
とかける。

以上を式C,式Fに代入して、
$p=\log_{3}\left(X-\frac{1}{X}\right)$ $q=\log_{3}\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)$ となる。これを$q=2p-1$に代入して、方程式
$\log_{3}\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)=2\log_{3}\left(X-\frac{1}{X}\right)-1$
ができた。


これを解くのだけど、右辺の$-1$だけが対数じゃないから面倒だ。
$\log_{3}3=1$
なので、$-1$にかけて対数にしておこう。
$\log_{3}\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)=2\log_{3}\left(X-\frac{1}{X}\right)-1\times\log_{3}3$
これを変形する。
$\log_{3}\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)+\log_{3}3=\log_{3}\left(X-\frac{1}{X}\right)^{2}$
$\log_{3}\left\{3\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)\right\}=\log_{3}\left(X-\frac{1}{X}\right)^{2}$
両辺の真数をとって、
$3\left(\frac{X^{2}}{3}-\frac{3}{X^{2}}\right)=\left(X-\frac{1}{X}\right)^{2}$
$X^{2}-\displaystyle \frac{9}{X^{2}}=\left(X-\frac{1}{X}\right)^{2}$
両辺に$X^{2}$をかけて、
$X^{4}-9=(X^{2}-1)^{2}$
$X^{4}-9=X^{4}-2X^{2}+1$
$2X^{2}=10$
$X^{2}=5$
$X=3^{x}$なので、$0 \lt X$だから、
$X=\sqrt{5}$
となる。
もう一息だ。

$X$をもとにもどして、
$3^{x}=\sqrt{5}$式G
復習より、
$x=\log_{3}\sqrt{5}$
$x$$=\log_{3}5^{\frac{1}{2}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\log_{3}5$
となる。

解答ヒ:5, フ:2

式Gからの別解

式Gの、両辺の底が$3$の対数をとって、
$\log_{3}3^{x}=\log_{3}\sqrt{5}$
$x\log_{3}3=\log_{3}\sqrt{5}$
$\log_{3}3=1$なので、
$x=\log_{3}\sqrt{5}$
$x$$=\log_{3}5^{\frac{1}{2}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\log_{3}5$
となる。

解答ヒ:5, フ:2