大学入試センター試験 2017年(平成29年) 追試 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

ア~エ

図A
大学入試センター試験2017年追試 数学ⅠA第2問[1] 解説図A

図Aで、
$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{A}$の接線なので、
$\mathrm{BC}$⊥$\mathrm{AC}$

また、
$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1$
だから、△$\mathrm{ABC}$は
$\angle \mathrm{ABC}=30^{\circ}$
$\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$
の直角三角形である。

よって、
$\mathrm{CA}:\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:2:\sqrt{3}$
なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\sin\angle 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
である。

解答ア:3, ウ:1, エ:2

また、△$\mathrm{BCD}$は$\angle \mathrm{BCD}$が直角の直角三角形なので、三平方の定理の定理より、
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$
さらに、$\mathrm{AD}$は円$\mathrm{A}$の半径なので、
$\mathrm{AD}=1$
以上より、
$\mathrm{BD}^{2}=\sqrt{3}^{2}+(1+1)^{2}$
$\mathrm{BD}^{2}$$=3+4$
$\mathrm{BD}^{2}$$=7$
$0 \lt \mathrm{BD}$なので、
$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$
である。

解答イ:7

オ~コ

図B
大学入試センター試験2017年追試 数学ⅠA第2問[1] 解説図B

次は、△$\mathrm{ABD}$の外接円の半径を求める。
外接円の半径を求める方法は2つあって、

復習

△$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$,面積を$S$とすると、
$\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{A}}=\frac{b}{\sin \mathrm{B}}=\frac{c}{\sin \mathrm{C}}=2R$   正弦定理
$S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$   面積の公式
だった。

△$\mathrm{ABD}$の面積は分からないので、今は正弦定理を使おう。

$\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$
なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
また、イより$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$

よって、外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$
分母分子を$2$倍して、
$2R=\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$
$R=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$式A
分母を有理化して、
$R=\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{3}$式B
である。

解答オ:2, カ:1, キ:3


次に$\cos\angle \mathrm{BOD}$だ。
△$\mathrm{BDO}$は、
$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$ $\mathrm{BO}=\mathrm{DO}=$円$\mathrm{O}$の半径 で、3辺の値が分かっている。
なので、余弦定理を使おう。
$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BO}^{2}+\mathrm{DO}^{2}-2\mathrm{BO}\cdot \mathrm{DO}\cos\angle \mathrm{BOD}$
に$\mathrm{BD}=\sqrt{7}$と式Aを代入して、
$\sqrt{7}^{2}=\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)^{2}-2\cdot\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)\cos\angle \mathrm{BOD}$
両辺に$\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)^{2}$をかけて、
$\sqrt{3}^{2}=1+1-2\cos\angle \mathrm{BOD}$
$2\cos\angle \mathrm{BOD}=1+1-\sqrt{3}^{2}$
$2\cos\angle \mathrm{BOD}=-1$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BOD}=-\frac{1}{2}$
となる。

解答ク:-, ケ:1, コ:2

アドバイス

ここでは、外接円の半径の値を、式Bの$\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{3}$ではなく、式Aの$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$を使った。
代入して計算するときは、分母を有理化する前の値を使った方が計算が楽なことが多い。

サ,シ

図C
大学入試センター試験2017年追試 数学ⅠA第2問[1] 解説図C

最後に、$\displaystyle \frac{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{D}}$を求めよう。
$\angle \mathrm{AOC}$と$\angle \mathrm{COD}$が含まれる三角形をさがすと、
$\angle \mathrm{AOC}$は図Cの緑の三角形 $\angle \mathrm{COD}$は図Cの赤い三角形 が考えられる。

$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AD}$は円$\mathrm{A}$の半径なので、
$\mathrm{CA}:\mathrm{CD}=1:2$
だから、緑の三角形と赤い三角形の面積比も
緑$:$赤$=1:2$
である。

また、$\mathrm{AO}$,$\mathrm{DO}$は円$\mathrm{O}$の半径なので、これを$R$とおくと、
緑の三角形の面積は、
緑$=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{AOC}$
赤い三角形の面積は、
赤$=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{COD}$
と表せる。

以上より、
$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{AOC}:\frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{COD}=1:2$
$2\displaystyle \times\frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{AOC}=\frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R\sin\angle \mathrm{COD}$
両辺を$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{CO}\cdot R$で割って、
$2\sin\angle \mathrm{AOC}=\sin\angle \mathrm{COD}$
$\sin\angle \mathrm{COD}\neq 0$なので、両辺を$\sin\angle \mathrm{COD}$で割って、
$2\displaystyle \frac{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{D}}=1$
$\displaystyle \frac{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}$
となる。

解答サ:1, シ:2