大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説
はじめに
問題中のグラフ表示ソフトを再現してみた。
スライダーで $a$，$p$，$q$ の値を変えてみて、イメージをつかんでみよう。
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| － | ＋ |
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| － | ＋ |
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| － | ＋ |
(1)
問題文中の図１を見ると、放物線$y=f(x)$は、$x$軸と$x \lt 0$の部分の異なる２点で交わっている。
よって、方程式
$f(x)=0$
は、異なる二つの負の解をもつから、正しい選択肢は
①
である。
解答ウ：１
(2)
最初に確認しておくと、
$a$は、グラフの形
$p$は、放物線の頂点の$x$座標
$q$は、放物線の頂点の$y$座標
を決めている。
これを頭に入れて、問題を解こう。
不等式$f(x) \gt 0$の解がすべての実数であるのは、図Ａのようなグラフのどちらかであるとき。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ａ](_image/1A_1_2_01.svg)
問題文中の図１の状態から
$a$の値だけを変化させた場合、頂点の位置は変わらない。なので、図Ａのグラフにはならない
$p$の値だけを変化させた場合、放物線は$x$軸方向に平行移動する。なので、図Ａのグラフにはならない
$q$の値だけを変化させた場合、放物線は$y$軸方向に平行移動する。なので、図Ａの左側のグラフが作れる
ことが分かる。
よって、正しい選択肢は
③
である。
解答エ：３
また、不等式$f(x) \gt 0$の解がないのは、図Ｂのようなグラフのどれかであるとき。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｂ](_image/1A_1_2_02.svg)
問題文中の図１の状態から
$a$の値だけを変化させた場合、頂点の位置は変わらずに、放物線が上に凸になったり下に凸になったり直線$y=q$になったりする。なので、図Ｂの真ん中や右のグラフが作れる
$p$の値だけを変化させた場合、放物線は$x$軸方向に平行移動する。なので、図Ｂのグラフにはならない
$q$の値だけを変化させた場合、放物線は$y$軸方向に平行移動する。なので、図Ｂのグラフにはならない
ことが分かる。
よって、正しい選択肢は
①
である。
解答オ：１