大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅡB 第5問 解説
(1)
(i)
点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
点$\mathrm{N}$は$\mathrm{CD}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$
である。
解答ア:1, イ:2
また、立体のすべての面は1辺が$1$の正三角形なので、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{d}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{d}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。
解答ウ:1, エ:2
(ii)
まず、内積$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$は
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\vec{a}\cdot(\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}-\vec{c})$式A
とかける。
式Aの$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$は、
アイで求めたように、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$式B
問題文より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=k\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$式C
の2通りに表せる。
なので、内積$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$も2通りに表せる。
その2つの式を連立方程式にして、$k$を求めよう。
式Aに式Bを代入すると
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\vec{a}\cdot\left\{\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})-c\right\}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\vec{a}\cdot\left\{\frac{1}{2}(-\vec{c}+\vec{d})\right\}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(-\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d})$式D
となる。
ここで、(i)より
$\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}$
なので、式Dから
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=0$式D'
であることが分かる。
式Aに式Cを代入すると
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\vec{a}\cdot(k \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}-\vec{c})$
とかける。
これに、アイで求めた
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
を代入すると、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\vec{a}\cdot\left\{\frac{k}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}\right\}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}\cdot\vec{c}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\left(\left|\vec{a}\right|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}\right)-\vec{a}\cdot\vec{c}$式E
となる。
ここで、
(i)より
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\frac{1}{2}$
問題文より、
$\left|\vec{a}\right|=1$
なので、式Eは
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}=\frac{k}{2}\left(1^{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$式E'
である。
式D'$=$式E'なので、
$\displaystyle \frac{k}{2}\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=0$
より
$3k-2=0$
$k=\displaystyle \frac{2}{3}$
となる。
解答オ:2, カ:3
(iii)
方針1
オカより、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$は
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{2}{3}\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$
とかける。
これにアイで求めた
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$ | |
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ |
を代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
より
$3(\vec{c}+\vec{d}) = 2(\vec{a}+\vec{b})$
となる。
これを$\vec{d}$について解いて、
$3\vec{c}+3\vec{d} = 2\vec{a}+2\vec{b}$
より
$3\vec{d} = 2\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}$
$\displaystyle \vec{d}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}$式F
となる。
解答キ:2, ク:3, ケ:2, コ:3
方針2
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$のなす角は$0^{\circ}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|\cos 0^{\circ}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$=\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|$式G
である。
また、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{c}+\vec{d})\cdot(\vec{c}+\vec{d})$
より
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{c}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{d})$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\left|\vec{c}\right|^{2}+2\left|\vec{c}\right|\left|\vec{d}\right|\cos\theta+\left|\vec{d}\right|^{2}\right)$
となる。
この式に
$\left|\vec{c}\right|=\left|\vec{d}\right|=1$
を代入すると
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(1^{2}+2\cdot 1\cdot 1\cos\theta+1^{2})$
より
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$式H
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta$
とかける。
解答サ:1, シ:2
(iv)
$\cos\theta$を、方針1または方針2を使って求めよという。
どちらの方法を使ってもいいんだけど、方針1の方が計算が少なくて済むからお勧め。
ここでは、両方の方法を載せておく。
方針1
$\vec{c}\cdot\vec{d}=\left|\vec{c}\right|\left|\vec{d}\right|\cos\theta$
$\vec{c}\cdot\vec{d}$$=\cos\theta$
に式Fを代入すると、
$\displaystyle \vec{c}\cdot\left(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}\right)=\cos\theta$
ができる。
これを計算して、
$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{3}\vec{c}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{c}$
より
$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}-1^{2}$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =\frac{2}{3}-1$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =-\frac{1}{3}$
となる。
解答ス:-, セ:1, ソ:3
方針2
まず、問題中の
$\vec{\mathrm{OM}} \cdot \vec{\mathrm{ON}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|$
の値を求めよう。
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ | |
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$ |
なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c}+\vec{d})$
より
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d})$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}\times 4$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。
これを式Gに代入すると、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|=\frac{1}{2}$式I
とかける。
また、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$
より
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b})$(★)
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(1^{2}+2\cdot\frac{1}{2}+1^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{3}{4}$式J
となる。
以上で求めた
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$式H | |
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|=\frac{1}{2}$式I | |
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2} =\frac{3}{4}$式J |
を使って、$\cos\theta$を求める。
そのために、$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|$,$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|$を代入して消そう。
式Iの両辺を2乗して、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{4}$
これに式H,式Jを代入して、
$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}(1+\cos\theta)=\frac{1}{4}$
両辺を$8$倍して、
$3(1+\cos\theta)=2$
$3+3\cos\theta=2$
$3\cos\theta=2-3$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =-\frac{1}{3}$
である。
解答ス:-, セ:1, ソ:3
(2)
(1)との違いは
$\mathrm{AB}=1$とは限らない
こと。
なので、△$\mathrm{OAB}$は正三角形とは限らないから、$\angle \mathrm{AOB}$は$60^{\circ}$とは限らない。
よって、(1)(i)で求めた
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$
は成り立つとは限らない。
問題文より$\angle \mathrm{AOB}=\alpha$なので、$\vec{a}\cdot\vec{b}$は、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\alpha$
$\vec{a}\cdot\vec{b}$$=\cos\alpha$
である。
(1)(i)で求めたその他の値は、(2)でも変わらない。
また、(1)では$\angle \mathrm{COD}=\theta$だったけど、(2)では$\angle \mathrm{COD}=\beta$に変わっている。
(i)
問題文に方針2を使うように指示があるので、(1)で解いた方針2の計算をもう一度しよう。
ただし、全部やり直す必要はなくて、
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$ の部分を $\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\alpha$ に
$\theta$ の部分を $\beta$ に
に変えればよい。
(1)(iii)で求めた式Hの
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$
は、$\theta$を$\beta$に変えて
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\beta)$式H'
となる。
(1)(iv)で計算した
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|=\frac{1}{2}$式I
はそのまま使えるけど、式Jの
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}=\frac{3}{4}$
は、求めるときに$\vec{a}\cdot\vec{b}$を使っているから、その直前、つまり(★)の行からやり直そう。
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b})$(★)
に$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$,$\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\alpha$を代入すると、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(1^{2}+2\cdot\cos\alpha+1^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)$式J'
となる。
以上で求めた
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\beta)$式H' | |
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|=\frac{1}{2}$式I | |
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2} =\frac{1}{2} (1+\cos \alpha)$式J' |
を使って、(1)(iv)と同様の計算をする。
式Iの両辺を2乗して、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}\right|^{2}\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}\right|^{2}=\frac{1}{4}$
これに式H',式J'を代入すると
$\displaystyle \frac{1}{2}(1+\cos\alpha)\cdot\frac{1}{2}(1+\cos\beta)=\frac{1}{4}$
となるから、両辺を$4$倍して
$(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)=1$式K
と表せる。
解答タ:1
(ii)
$\alpha=\beta$のとき、図形は図Cのようになる。
このとき、式Kは
$(1+\cos\alpha)^{2}=1$
とかける。
これを解いて、
$1+\cos\alpha=\pm 1$
より
$\cos\alpha=-1\pm 1$
$\cos\alpha$$=-2$,$0$
だけど、$-1\leqq\cos\alpha\leqq 1$なので
$\cos\alpha=0$
とかける。
よって、
$\alpha=90^{\circ}$
である。
解答:チ:9, ツ:0
このとき、図Cの△$\mathrm{OAB}$(緑の三角形)と△$\mathrm{OCD}$(黄色い三角形)は合同になる。
なので、点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{N}$は一致するから、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$は交わる。
交差する2直線は同一平面上にあるから、2つの直線上の点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$も同一平面上にある。
解答テ:1