点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AB}$の中点なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
点$\mathrm{N}$は$\mathrm{CD}$の中点なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$
である。

解答ア：１, イ：２

また、立体のすべての面は１辺が$1$の正三角形なので、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{d}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{d}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

解答ウ：１, エ：２

まず、内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}$は
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\vec{a}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\vec{c})$式Ａ
とかける。

式Ａの$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は、
アイで求めたように、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$式Ｂ 問題文より、
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}$式Ｃ の２通りに表せる。

なので、内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}$も２通りに表せる。
その２つの式を連立方程式にして、$k$を求めよう。

式Ａに式Ｃを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\vec{a}\cdot(k \overrightarrow{\mathrm{OM}}-\vec{c})$
とかける。

これに、アイで求めた
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
を代入すると、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\vec{a}\cdot\left\{\frac{k}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{c}\right\}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}\cdot\vec{c}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\left(\left|\vec{a}\right|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}\right)-\vec{a}\cdot\vec{c}$式Ｅ
となる。

ここで、
(i)より
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\frac{1}{2}$ 問題文より、
$\left|\vec{a}\right|=1$ なので、式Ｅは
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{k}{2}\left(1^{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CN}}$$\displaystyle =\frac{k}{2}\cdot\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$式Ｅ'
である。

方針１

オカより、$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OM}}$
とかける。

これにアイで求めた
$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})\\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) \end{array}\right.$
を代入すると、
$\displaystyle \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
より
$3(\vec{c}+\vec{d}) = 2(\vec{a}+\vec{b})$
となる。

これを$\vec{d}$について解いて、
$3\vec{c}+3\vec{d} = 2\vec{a}+2\vec{b}$
より
$3\vec{d} = 2\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}$
$\displaystyle \vec{d}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}$式Ｆ
となる。

解答キ：２, ク：３, ケ：２, コ：３

方針２

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$のなす角は$0^{\circ}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|\cos 0^{\circ}$
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}$$=\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|$式Ｇ
である。

また、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})$
なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{c}+\vec{d})\cdot(\vec{c}+\vec{d})$
より
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{c}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{d})$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\left|\vec{c}\right|^{2}+2\left|\vec{c}\right|\left|\vec{d}\right|\cos\theta+\left|\vec{d}\right|^{2}\right)$
となる。

この式に
$\left|\vec{c}\right|=\left|\vec{d}\right|=1$ を代入すると
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(1^{2}+2\cdot 1\cdot 1\cos\theta+1^{2})$
より
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$式Ｈ
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\theta$
とかける。

解答サ：１, シ：２

$\cos\theta$を、方針１または方針２を使って求めよという。
どちらの方法を使ってもいいんだけど、方針１の方が計算が少なくて済むからお勧め。
ここでは、両方の方法を載せておく。

方針１

$\vec{c}\cdot\vec{d}=\left|\vec{c}\right|\left|\vec{d}\right|\cos\theta$
$\vec{c}\cdot\vec{d}$$=\cos\theta$
に式Ｆを代入すると、
$\displaystyle \vec{c}\cdot\left(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}\right)=\cos\theta$
ができる。

これを計算して、
$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{3}\vec{c}\cdot\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{c}$
より
$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}-1^{2}$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =\frac{2}{3}-1$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =-\frac{1}{3}$
となる。

解答ス：－, セ：１, ソ：３

方針２

まず、問題中の
$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$ の値を求めよう。

$\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) \end{array}\right.$

なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c}+\vec{d})$
より
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d})$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}\times 4$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}$
である。

これを式Ｇに代入すると、
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\frac{1}{2}$式Ｉ
とかける。

また、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$
より
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b})$（★）
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(1^{2}+2\cdot\frac{1}{2}+1^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{3}{4}$式Ｊ
となる。

以上で求めた
$\left\{\begin{array}{l} \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\theta)\class{tex_formula}{式Ｈ}\\ \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\dfrac{1}{2}\class{tex_formula}{式Ｉ}\\ \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2} =\dfrac{3}{4}\class{tex_formula}{式Ｊ} \end{array}\right.$
を使って、$\cos\theta$を求める。
そのために、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|$を代入して消そう。

式Ｉの両辺を２乗して、
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\frac{1}{4}$
これに式Ｈ，式Ｊを代入して、
$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}(1+\cos\theta)=\frac{1}{4}$
両辺を$8$倍して、
$3(1+\cos\theta)=2$
$3+3\cos\theta=2$
$3\cos\theta=2-3$
$\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle =-\frac{1}{3}$
である。

解答ス：－, セ：１, ソ：３

問題文に方針２を使うように指示があるので、(1)で解いた方針２の計算をもう一度しよう。
ただし、全部やり直す必要はなくて、
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}$ の部分を $\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\alpha$ に $\theta$ の部分を $\beta$ に に変えればよい。

(1)(iii)で求めた式Ｈの
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$
は、$\theta$を$\beta$に変えて
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\beta)$式Ｈ' となる。

(1)(iv)で計算した $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\frac{1}{2}$式Ｉ はそのまま使えるけど、式Ｊの
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}=\frac{3}{4}$
は、求めるときに$\vec{a}\cdot\vec{b}$を使っているから、その直前、つまり（★）の行からやり直そう。

$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b})$（★）
に$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\alpha$を代入すると、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(1^{2}+2\cdot\cos\alpha+1^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)$式Ｊ'
となる。

以上で求めた
$\left\{\begin{array}{l} \left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\dfrac{1}{2}(1+\cos\beta)\class{tex_formula}{式Ｈ'}\\ \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|=\dfrac{1}{2}\class{tex_formula}{式Ｉ}\\ \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2} =d\frac{1}{2} (1+\cos \alpha)\class{tex_formula}{式Ｊ'} \end{array}\right.$
を使って、(1)(iv)と同様の計算をする。

式Ｉの両辺を２乗して、
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|^{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{ON}}\right|^{2}=\frac{1}{4}$
これに式Ｈ'，式Ｊ'を代入すると
$\displaystyle \frac{1}{2}(1+\cos\alpha)\cdot\frac{1}{2}(1+\cos\beta)=\frac{1}{4}$
となるから、両辺を$4$倍して
$(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)=1$式Ｋ
と表せる。

解答タ：１

$\alpha=\beta$のとき、図形は図Ｃのようになる。

図の固定

このとき、式Ｋは
$(1+\cos\alpha)^{2}=1$
とかける。

これを解いて、
$1+\cos\alpha=\pm 1$
より
$\cos\alpha=-1\pm 1$
$\cos\alpha$$=-2$，$0$
だけど、$-1\leqq\cos\alpha\leqq 1$なので
$\cos\alpha=0$
とかける。

よって、
$\alpha=90^{\circ}$
である。

解答：チ：９, ツ：０

このとき、図Ｃの△$\mathrm{OAB}$（緑の三角形）と△$\mathrm{OCD}$（黄色い三角形）は合同になる。
なので、点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{N}$は一致するから、直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$は交わる。

交差する２直線は同一平面上にあるから、２つの直線上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$も同一平面上にある。

解答テ：１