大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠＡ 第１問 [4] 解説

(1)

問題文中の「太郎さんの証明の構想」の話の展開が分かりにくいかも知れない。
問題文をもうちょっと分かりやすく書きなおしてみると、

図Ａ
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[4] 解説図Ａ

図Ａの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角（$A$）は等しい 辺$\mathrm{BC}$（$a$）は共通 であるといえる。

なので、オレンジの三角形で
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$式Ａ
であれば、赤い三角形でも
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$
であることが分かる。

問題の最初の部分で、直角三角形（オレンジの三角形）の場合に式Ａが成り立つことを証明した。

よって、赤い三角形でも式Ａは成り立つ。

となる。

つまり、三角形$\mathrm{ABC}$を直角三角形と比べたい。
なので、$\mathrm{A}'$の位置は、三角形$\mathrm{A}'\mathrm{BC}$が直角三角形になる点だ。

選択肢のうちで三角形$\mathrm{A}'\mathrm{BC}$が直角三角形になるのは、$\mathrm{A}'$が図Ａの緑の点になる
①
である。

解答カ：１

(2)

「花子さんの証明の構想」も、基本的な手順は(1)の太郎さんの構想と変わらない。
花子さんの構想を、図Ｂで説明すると、

図Ｂ
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[4] 解説図Ｂ

図Ｂの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角（$A$）と緑の角（$D$）は、たして$180^{\circ}$なので、
$\sin A = \sin D$ 辺$\mathrm{BC}$（$a$）は共通 であるといえる。

なので、オレンジの三角形で
$\displaystyle \frac{a}{\sin D}=2R$式Ｂ
であれば、赤い三角形でも
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$
であることが分かる。

問題の最初の部分で、直角三角形（オレンジの三角形）の場合に式Ｂが成り立つことを証明した。

なので、赤い三角形でも式Ｂは成り立つ。

となる。

よって、キには図Ａの緑の角である
$\angle \mathrm{BDC}$
が入るから、正しい選択肢は
⑤
だ。

解答キ：５

また、図Ｂの緑の角と青い角をたすと$180^{\circ}$なので、
$\angle \mathrm{CAB}+\angle \mathrm{BDC}=180^{\circ}$
より
$\angle \mathrm{CAB}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BDC}$
である。

よって、クには、選択肢の
⑤
が入る。

解答ク：５