大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠA 第1問 [4] 解説
(1)
問題文中の「太郎さんの証明の構想」の話の展開が分かりにくいかも知れない。
問題文をもうちょっと分かりやすく書きなおしてみると、
図Aの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角($A$)は等しい
辺$\mathrm{BC}$($a$)は共通
であるといえる。
なので、オレンジの三角形で
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$式A
であれば、赤い三角形でも
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$
であることが分かる。
問題の最初の部分で、直角三角形(オレンジの三角形)の場合に式Aが成り立つことを証明した。
よって、赤い三角形でも式Aは成り立つ。
となる。
つまり、三角形$\mathrm{ABC}$を直角三角形と比べたい。
なので、$\mathrm{A}'$の位置は、三角形$\mathrm{A}'\mathrm{BC}$が直角三角形になる点だ。
選択肢のうちで三角形$\mathrm{A}'\mathrm{BC}$が直角三角形になるのは、$\mathrm{A}'$が図Aの緑の点になる
①
である。
解答カ:1
(2)
「花子さんの証明の構想」も、基本的な手順は(1)の太郎さんの構想と変わらない。
花子さんの構想を、図Bで説明すると、
図Bの赤い三角形とオレンジの三角形を比べてみると、
青い角($A$)と緑の角($D$)は、たして$180^{\circ}$なので、
$\sin A = \sin D$
辺$\mathrm{BC}$($a$)は共通
であるといえる。
なので、オレンジの三角形で
$\displaystyle \frac{a}{\sin D}=2R$式B
であれば、赤い三角形でも
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$
であることが分かる。
問題の最初の部分で、直角三角形(オレンジの三角形)の場合に式Bが成り立つことを証明した。
なので、赤い三角形でも式Bは成り立つ。
となる。
よって、キには図Aの緑の角である
$\angle \mathrm{BDC}$
が入るから、正しい選択肢は
⑤
だ。
解答キ:5
また、図Bの緑の角と青い角をたすと$180^{\circ}$なので、
$\angle \mathrm{CAB}+\angle \mathrm{BDC}=180^{\circ}$
より
$\angle \mathrm{CAB}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BDC}$
である。
よって、クには、選択肢の
⑤
が入る。
解答ク:5