大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査数学ⅠＡ第２問 [2] 解説

(1)

最初は、単純作業で面倒だけど計算だ。

$x$の平均値は、
$\displaystyle \frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$
$=1.50$

である。

解答セ：８

次の標準偏差は、復習から始めると

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、その平均値を$\overline{x}$とするとき、
分散$s^{2}$は、
$s^{2}=\displaystyle \frac{1}{n} \{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+$
$\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\}$式Ａ
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$ 標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^{2}}$式Ｂである。

だった。

式Ａより、$x$の分散は
$\displaystyle \frac{\left(1-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(2-\frac{3}{2}\right)^{2}}{2}$
$=\displaystyle \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2}$
$=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
となる。

よって、式Ｂより、標準偏差は
$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}$
$=0.50$
である。

解答ソ：６

また、相関係数についても復習すると、

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、それぞれの平均値を$\overline{x}$，$\overline{y}$、標準偏差を$s_{x}$，$s_{y}$とするとき、
$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+$
$\cdots+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})\}$式Ｃ相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｄである。

だった。

式Ｃより、$x$と$y$の共分散は
$\displaystyle \frac{\left(1-\frac{3}{2}\right)\left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(2-\frac{3}{2}\right)\left(1-\frac{3}{2}\right)}{2}$
$=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{2}$
$\displaystyle =-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
となる。

よって、式Ｄより、相関係数は
$\displaystyle \frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=-1.00$
である。

解答タ：１

(2)

式Ｄより、相関係数は、
$\displaystyle \frac{\text{共分散}}{x\text{の標準偏差}\times y\text{の標準偏差}}$式Ｅ
とかける。

$(x,y)=(1,2)$，$(2,2)$のとき、$y$の平均値は$2$だから、分散は
$\displaystyle \frac{(2-2)^{2}+(2-2)^{2}}{2}=0$
なので、$y$の標準偏差も$0$だ。

このとき、式Ｅは分母が$0$になるから、相関係数が存在しない。

よって、正しい選択肢は
③
である。

解答チ：３

(3)

次は、相関係数についての正誤問題だ。
散布図についての問題ではないけれど、目に見える形で理解した方がいいので、ここでは散布図を使って復習することにする。

復習

図の固定

図Ａのように点が一直線上に並んでいるとき、横軸の項目と縦軸の項目の相関係数は$1$または$-1$になる。
左側のグラフのように傾きが正ならば相関係数は$1$，
右側のグラフのように負なら相関係数は$-1$である。

相関係数が$1$または$-1$の場合は、図Ａのように点は一直線上にきれいに並ぶ。
この並びが乱れるほど、相関係数は$0$に近づく。

図の固定

簡単に相関係数が$0$の散布図を作ろうと思えば、図Ｂのように点の分布を左右対称または上下対称にすればよい。
この「左右対称または上下対称」は必要十分条件ではないので注意。
つまり、点の分布が左右対称または上下対称でなくても、相関係数が$0$になることがある。

図の固定

また、図Ｃのように点が縦軸や横軸に平行な直線上に並んでいる場合は、(2)で説明したように相関係数は計算できない。

復習を理解したところで、選択肢をひとつずつ確認しよう。

⓪

点が２つの場合、散布図は図Ｄのどれかになる。

図の固定

(e)のように２つの点が重なる場合を除いて、点は必ず一直線上に分布する。
よって、復習より、
(a)(b)のとき、相関係数は$1$または$-1$ (c)(d)(e)のとき、相関係数は計算できないから、相関係数が$0$になることはない。

なので、⓪は正しい。

①

復習より、傾きが負の直線上に３つの点が並べば、相関係数は$-1$になる。
なので、正しい。

②

復習より、傾きが正の直線上に４つの点が並べば、相関係数は$1$になる。
なので、誤り。

③

復習より、傾きが負の直線上に50個の点が並べば、相関係数は$-1$になる。
このとき、点が重なっていても問題ない。
（すべての点が１か所に重なっている場合を除く）
なので、正しい。

④

復習より、傾きが正の直線上に50個の点が並べば、相関係数は$1$になる。
このとき、点が重なっていても問題ない。
（すべての点が１か所に重なっている場合を除く）
なので、正しい。

以上より、選択肢のうちで誤っているのは
②
である。

解答ツ：２

(4)

まずテから。

(3)の復習より、相関係数とは、散布図の点が直線っぽく並んでいるかどうかを表す値だ。
なので、正しい選択肢は
④
である。

解答テ：４

最後に、ト。

これは、(3)の選択肢⓪の説明がそのまま解説になる。
なので、正しい選択肢は
③
である。

解答ト：３