大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠA 第2問 [2] 解説

(1)

最初は、単純作業で面倒だけど計算だ。


$x$の平均値は、
$\displaystyle \frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$
          $=1.50$

である。

解答セ:8


次の標準偏差は、復習から始めると

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$があり、その平均値を$\overline{x}$とするとき、
分散$s^{2}$は、
$s^{2}=\displaystyle \frac{1}{n} \{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+$
                $\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\}$式A
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
標準偏差$s$は
$s=\sqrt{s^{2}}$式B
である。

だった。

式Aより、$x$の分散は
$\displaystyle \frac{\left(1-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(2-\frac{3}{2}\right)^{2}}{2}$
$=\displaystyle \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2}$
$=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
となる。

よって、式Bより、標準偏差は
$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}$
             $=0.50$
である。

解答ソ:6


また、相関係数についても復習すると、

復習

データ$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}$と$\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\}$があり、それぞれの平均値を$\overline{x}$,$\overline{y}$、標準偏差を$s_{x}$,$s_{y}$とするとき、
$\{x\}$と$\{y\}$の共分散$s_{xy}$は
$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+$
               $\cdots+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})\}$式C
相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式D
である。

だった。

式Cより、$x$と$y$の共分散は
$\displaystyle \frac{\left(1-\frac{3}{2}\right)\left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(2-\frac{3}{2}\right)\left(1-\frac{3}{2}\right)}{2}$
$=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{2}$
$=-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
となる。

よって、式Dより、相関係数は
$\displaystyle \frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=-1.00$
である。

解答タ:1

(2)

式Dより、相関係数は、
$\displaystyle \frac{\text{共分散}}{x\text{の標準偏差}\times y\text{の標準偏差}}$式E
とかける。

$(x,y)=(1,2)$,$(2,2)$のとき、$y$の平均値は$2$だから、分散は
$\displaystyle \frac{(2-2)^{2}+(2-2)^{2}}{2}=0$
なので、$y$の標準偏差も$0$だ。

このとき、式Eは分母が$0$になるから、相関係数が存在しない。

よって、正しい選択肢は

である。

解答チ:3

(3)

次は、相関係数についての正誤問題だ。
散布図についての問題ではないけれど、目に見える形で理解した方がいいので、ここでは散布図を使って復習することにする。

復習

図A
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[2] 解説図A

図Aのように点が一直線上に並んでいるとき、横軸の項目と縦軸の項目の相関係数は$1$または$-1$になる。
左側のグラフのように傾きが正ならば相関係数は$1$,
右側のグラフのように負なら相関係数は$-1$である。

相関係数が$1$または$-1$の場合は、図Aのように点は一直線上にきれいに並ぶ。
この並びが乱れるほど、相関係数は$0$に近づく。

図B
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[2] 解説図B

簡単に相関係数が$0$の散布図を作ろうと思えば、図Bのように点の分布を左右対称または上下対称にすればよい。
この「左右対称または上下対称」は必要十分条件ではないので注意。
つまり、点の分布が左右対称または上下対称でなくても、相関係数が$0$になることがある。

図C
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[2] 解説図C

また、図Cのように点が縦軸や横軸に平行な直線上に並んでいる場合は、(2)で説明したように相関係数は計算できない。

復習を理解したところで、選択肢をひとつずつ確認しよう。


点が2つの場合、散布図は図Dのどれかになる。

図D
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[2] 解説図D

(e)のように2つの点が重なる場合を除いて、点は必ず一直線上に分布する。
よって、復習より、
(a)(b)のとき、相関係数は$1$または$-1$ (c)(d)(e)のとき、相関係数は計算できない から、相関係数が$0$になることはない。

なので、⓪は正しい。

復習より、傾きが負の直線上に3つの点が並べば、相関係数は$-1$になる。
なので、正しい。

復習より、傾きが正の直線上に4つの点が並べば、相関係数は$1$になる。
なので、誤り。

復習より、傾きが負の直線上に50個の点が並べば、相関係数は$-1$になる。
このとき、点が重なっていても問題ない。
     (すべての点が1か所に重なっている場合を除く)
なので、正しい。

復習より、傾きが正の直線上に50個の点が並べば、相関係数は$1$になる。
このとき、点が重なっていても問題ない。
     (すべての点が1か所に重なっている場合を除く)
なので、正しい。

以上より、選択肢のうちで誤っているのは

である。

解答ツ:2

(4)

まずから。

(3)の復習より、相関係数とは、散布図の点が直線っぽく並んでいるかどうかを表す値だ。
なので、正しい選択肢は

である。

解答テ:4

最後に、

これは、(3)の選択肢⓪の説明がそのまま解説になる。
なので、正しい選択肢は

である。

解答ト:3