数学らしい問題になった。

まず、$x$，$y$は袋の数なので、

である。

次に条件①，②だけど、$x$，$y$の不等式なので、領域にしよう。

①'はさらに
$3y\leqq-2x+15$
より
$y\displaystyle \leqq-\frac{2}{3}x+5$式Ａ
と変形できるから、条件①は図Ｂの緑の斜線部分（境界を含む）。

図の固定

②'は
$y\leqq-2x+8$
なので、条件②'は青い斜線の部分（境界を含む）。

よって、両方の条件を満たすのは、図Ｂのオレンジの部分（境界を含む）だ。

食べる量を$M$とすると
$M=100x+100y$式Ｂ
とかける。
この$M$の最大値を求める。

よく見るお約束の問題だ。
なので、お約束通りの解き方をしよう。

式Ｂは
$\displaystyle \frac{M}{100}=x+y$
より
$y=-x+\displaystyle \frac{M}{100}$式Ｂ'
と変形できる。

よって、$M$が最大になるのは、
式Ｂ'の直線と図Ｂのオレンジの部分が共有点をもち 式Ｂ'の直線の$y$切片が最大になる とき。

図Ｂの緑の直線の傾きは、式Ｂ'のグラフの傾きより大きい。
青い直線の傾きは、式Ｂ'のグラフの傾きより小さい。
なので、式Ｂ'の$y$切片が最大になるのは、グラフが緑と青の交点（図Ｃの紫の点）を通るとき。

図の固定

ということで、緑の線と青い線の式の連立方程式

を解いて、紫の点の座標を求める。

式Ｃの両辺を$3$倍して
$-2x+3\cdot 5=-6x+3\cdot 8$
より
$4x=3\cdot 3$
$x=\displaystyle \frac{9}{4}$
である。

これを式Ｄに代入すると、
$y=-2\displaystyle \cdot\frac{9}{4}+8$
$y$$\displaystyle =\frac{7}{2}$
となる。

よって、紫の点の座標は
$\displaystyle \left(\frac{9}{4},\frac{7}{2}\right)$
なので、$M$が最大になる$x$，$y$は
$\displaystyle (x,y)=\left(\frac{9}{4},\frac{7}{2}\right)$式Ｅ
であることが分かる。

解答ク：９, ケ：４, コ：７, サ：２

$x$，$y$が整数のとき、式Ｂ'より
$y$切片も整数 である。

図Ｃの紫の直線の$y$切片は、式Ｂ'にオカキを代入して
$\displaystyle \frac{575}{100}=5.75$
だけど、今回は
$y$切片が整数 でなければならない。

今回も
式Ｂ'の直線は図のオレンジの部分と共有点をもつ から、求める式Ｂ'の直線は、図Ｃの紫の直線を 切片が整数になるように下に平行移動したもの。
よって、式Ｂ'の候補は
$x+y=5$式Ｂ''
が考えられる。

このときの$y$切片
$(0,5)$
は$x$座標も$y$座標も整数で、オレンジの部分に含まれるから、答えのひとつだ。

なので、式Ｂに
$(x,y)=(0,5)$
を代入して、
$100\cdot 0+100\cdot 5=500$
より
$M=500$
であることが分かる。

解答シ：５, ス：０, セ：０

答えとなる$(x,y)$の組は、図Ｄの赤い線分（両端を含む）上にある$x$も$y$も整数である点（これを格子点と呼ぶ）だ。
よって、答えは$(0,5)$（図Ｄの緑の点）以外にも存在する。

図の固定

というわけで、赤い線分の右端、つまり図Ｄの青い点の座標$x$を求めよう。
青い線と式Ｂ''の連立方程式を解く。

今回は、赤い線分の上の点は$x$座標が整数なら$y$座標も整数なので、$x$座標だけ考えればよい。

式Ｂ''に青い線の式を代入して、
$x+(-2x+8)=5$
より
$-x=-3$
$x=3$
となる。

以上より、図Ｄの
緑の点の$x$座標は$0$ 青い点の$x$座標は$3$ なので、赤い線分上の格子点は
$x=0$，$1$，$2$，$3$
の４通りあることが分かる。

解答ソ：４

(1)の(iii)と同じように解こう。

(1)と同様に、食品Ａの袋数を$x$，食品Ｂの袋数を$y$とする。

花子さんは、食品Ａと食品Ｂを合計$600$g以上食べる。
表Ａより、この条件は
$100x+100y\geqq 600$
より
$x+y\geqq 6$
$y\geqq-x+6$式Ｆ
とかける。

また、エネルギーは$1500$kcal以下だけど、この条件は(1)の①と同じなので、式Ａより
$y\displaystyle \leqq-\frac{2}{3}x+5$
である。

なので、この２つの条件を満たすのは、図Ｅのオレンジの部分（境界を含む）だ。

図の固定

このとき、脂質を$L$とすると、表Ａから
$L=4x+2y$式Ｇ
より
$y=-2x+\displaystyle \frac{L}{2}$式Ｇ'
とかける。

(1)の(iii)と同様に、式Ｇ'の直線が
図Ｅのオレンジの部分と共有点をもつ $y$切片が最も小さくなる ときを考える。

式Ｇ'の傾きは 図Ｅの青と緑 両方の線の傾きより小さい（垂直に近い）。
なので、式Ｇ'とオレンジの部分が共有点をもつ限界は紫の線で、紫の点を通るとき。

紫の点の$x$座標は、緑の線と青い線の式の連立方程式

を解いて、
$-\displaystyle \frac{2}{3}x+5=-x+6$
より
$x=3$
である。

このとき、$y$座標は、$x=3$を式Ｈに代入して
$y=3$
となり、ちょうど$x$，$y$とも整数になった。

なので、求める食品Ａ，Ｂの袋数は、

である。

解答タ：３, チ：３