(ii)の解説の計算をまたちょっと変える。

点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{A}(p,q)$と点$\mathrm{P}(s,t)$の中点なので、
$(x,y)=\displaystyle \left(\frac{p+s}{2},\frac{q+t}{2}\right)$
より
$\left\{\begin{array}{l}
2x=p+s\\
2y=q+t
\end{array}\right.$
なので
$\left\{\begin{array}{l}
s=2x-p\\
t=2y-q
\end{array}\right.$式Ｅ
と表せる。

また、点$\mathrm{P}$は$y=x^{2}$上の点なので、
$t=s^{2}$
とかけるから、これに式Ｅを代入して、点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式は
$2y-q=(2x-p)^{2}$式Ｆ
となる。

以下、式Ｆのグラフを放物線$L$とする。

２次関数同士の共有点の数なので、判別式にもってゆく方向で考えよう。

$y=x^{2}$と放物線$L$の共有点は、連立方程式

の解だ。

この連立方程式から$y$を消して、$x$だけの方程式にしよう。

式Ｆに$y=x^{2}$を代入して、
$2x^{2}-q=4x^{2}-4px+p^{2}$
より
$2x^{2}-4px+p^{2}+q=0$
とかける。

この式の判別式$D$をとると、
$D=(-4p)^{2}-4\cdot 2\cdot(p^{2}+q)$
$D$$=8(2p^{2}-p^{2}-q)$
$D$$=8(p^{2}-q)$
なので、
$\displaystyle \frac{D}{8}=p^{2}-q$式Ｇ
である。

式Ｇより、$q=0$のとき、
$p=0$のとき、$\displaystyle \frac{D}{8}=0$ $p\neq 0$のとき、$\displaystyle \frac{D}{8} \gt 0$ となる。

よって、放物線$L$と$y=x^{2}$は、
$q=0$のとき、
$p=0$なら、共有点は１個 $p\neq 0$なら、共有点は２個 であることが分かる。

したがって、選択肢の⓪，②は誤りで、
①
は正しい。

また、式Ｇより、
$q \lt p^{2}$のとき、
$p^{2}-q \gt 0$
なので、
$\displaystyle \frac{D}{8} \gt 0$ $q=p^{2}$のとき、
$p^{2}-q=0$
なので、
$\displaystyle \frac{D}{8}=0$ $q \gt p^{2}$のとき、
$p^{2}-q \lt 0$
なので、
$\displaystyle \frac{D}{8} \lt 0$ となる。

よって、放物線$L$と$y=x^{2}$は、
$q \lt p^{2}$のとき、共有点は２個 $q=p^{2}$のとき、共有点は１個 $q \gt p^{2}$のとき、共有点は０個 であることが分かる。

したがって、選択肢の③は誤りで、
④，⑤
は正しい。

これを頭に入れて、問題文中の図を見る。

図の固定

図を見ると、
軌跡の円は半径が$2$ だ。

また、図Ｄの赤い円は
円の内部に定点があり 定点が円の中心 になっている。

以上とアドバイスより、もとの円の
半径は$4$ 中心は赤い円の中心の$(0,0)$ であることが分かる。

よって、もとの円の方程式は
$x^{2}+y^{2}=4^{2}$
$x^{2}+y^{2}$$=16$
となる。

解答ヌ：３

上のアドバイスのうち、使ってない性質がたくさんある。
それを使うと別解がたくさん作れるけど、ここでは省略する。