大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅡＢ 第１問 [3] 解説
(1)
まず、指数と対数の関係の復習をしよう。
復習１
$0 \lt a$ かつ $a\neq 1$，$0 \lt b$のとき、
$a^{b}=c\Leftrightarrow\log_{a}c=b$
である。
復習１より、
$\log_{10}2=0.3010$式Ａ
は
$10^{0.3010}=2$
とかける。
解答チ：１
別解
復習１の方法を使わないと、次のようになる。
$\log_{10}2=0.3010$式Ａ
は、左辺は対数，右辺は対数じゃないので、そのまま比較ができない。
なので、右辺を対数にしよう。
復習２
対数じゃない数を対数にするには、
$1=\log_{a}a$
をかける。
復習２より、式Ａの右辺に$1=\log_{10}10$をかけて、
$\log_{10}2=0.3010\times 1$
$\log_{10}2$$=0.3010\times\log_{10}10$
とかける。
右辺を整理すると
$\log_{10}2=\log_{10}10^{0.3010}$
なので
$10^{0.3010}=2$
であることが分かる。
解答チ：１
次は、$2$ツをつくりたい。
なので、底が$2$の対数をつくりたい。
というわけで、底の変換だ。
式Ａの対数の底を$2$に変換すると
$\displaystyle \frac{\log_{2}2}{\log_{2}10}=0.3010$
より
$\displaystyle \frac{1}{\log_{2}10}=0.3010$
$\displaystyle \log_{2}10=\frac{1}{0.3010}$
となる。
復習１より、この式は
$2^{\frac{1}{0.3010}}=10$
と表せる。
解答ツ：５
別解
この問題にしか使えないかも知れないけど、選択肢から答えを見つけるだけなら、次のような考え方もできる。
$2^{3}=8$
$2^{4}=16$
なので、
$2^{3} \lt 10 \lt 2^{4}$
となるけど、底の$2$は$1$より大きいので、
$3 \lt $ツ$ \lt 4$
であることが分かる。
選択肢のうちで、この範囲に入るのは
⑤
の$\displaystyle \frac{1}{0.3010}$しかない。
解答ツ：５
(2) (i)～(iii)
まず、対数関数のグラフの形の復習をしておこう。
復習３
対数関数$y=\log_{a}x$のグラフは 次のような形になる。
$0 \lt a \lt 1$のとき
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学２Ｂ第１問[3] 復習図](_image/2012_2_4_03.svg)
$1 \lt a$のとき
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学２Ｂ第１問[3] 復習図](_image/2012_2_4_04.svg)
この問題では底が$10$で$1$より大きいので、右側のグラフのような形になる。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学２Ｂ第１問[3] 解説図Ａ](_image/2B_1_3_01.svg)
対数ものさしのつくりかたのルールは、図Ａのようになっている。
つまり、対数ものさしＡ，Ｂともに、
目盛りに$n$と書いてある位置の実際の値は$\log_{10}n$
だ。
(i)
復習３で復習したように、$y=\log_{10}x$のグラフは、$x$が大きくなるほど傾きが小さくなる。
なので、
$1\leqq x\leqq 2$の傾き（図Ａの赤い点から紫の点までの傾き）
よりも
$3\leqq x\leqq 4$の傾き（緑の点から青い点までの傾き）
の方が小さい。
言いかえると、$y$つまり$\log_{10}x$の増加量が少ない。
よって、$3$と$4$の目盛りの間隔は、$1$と$2$の間よりも小さい。
解答テ：２
(ii)
対数ものさしＡで、目盛りの$2$から$a$の間隔は
$\log_{10}a-\log_{10}2$
対数ものさしＢで、目盛りの$1$から$b$の間隔は
$\log_{10}b-\log_{10}1$
とかける。
この２つが等しいので、
$\log_{10}a-\log_{10}2=\log_{10}b-\log_{10}1$
より
$\log_{10}a=\log_{10}2+\log_{10}b-0$
$\log_{10}a$$=\log_{10}2b$
なので
$a=2b$
である。
解答ト：１
(iii)
さらに新しいものさしＣが出てきた。
このものさしＣは、
目盛りに$n$と書いてある位置の実際の値は$n\log_{10}2$
であるという。
対数ものさしＡで、目盛りの$1$から$d$の間隔は
$\log_{10}d-\log_{10}1$
ものさしＣで、目盛りの$0$から$c$の間隔は
$c\log_{10}2-0\log_{10}2$
とかける。
この２つが等しいので、
$\log_{10}d-\log_{10}1=c\log_{10}2-0\log_{10}2$
より
$\log_{10}d-0=c\log_{10}2-0$
$\log_{10}d=\log_{10}2^{c}$
なので
$d=2^{c}$
である。
解答ナ：２
(2) (iv)
突然見たことがない問題が出てきたけれど、大丈夫。
これまでで分かったことを使う方向で考えよう。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学２Ｂ第１問[3] 解説図Ｂ](_image/2B_1_3_02.svg)
(ii)より、図Ｂのとき
$a=2b$式Ｂ
の関係が成り立った。
このときの計算から、図Ｂの青い数字と緑の数字をかけると赤い数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡ，Ｂを使うと、かけ算ができる。
よって、選択肢の
②
の計算ができる。
また、このとき、式Ｂを変形した
$b=\displaystyle \frac{a}{2}$
の関係も成り立つ。
このことから、赤い数字を青い数字で割ると緑の数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡ，Ｂを使うと、割り算もできる。
よって、選択肢の
③
の計算もできる。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学２Ｂ第１問[3] 解説図Ｃ](_image/2B_1_3_03.svg)
(iii)より、図Ｃのとき
$d=2^{c}$式Ｃ
の関係が成り立った。
このときの計算から、図Ｃの青い数字を緑の数字乗すると赤い数字になることが分かる。
つまり、対数ものさしＡとものさしＣを使うと、指数の計算ができる。
よって、選択肢の
④
の計算ができる。
また、このとき、式Ｃを変形した
$\log_{2}d=c$
の関係も成り立つ。
このことから、青い数字を底，赤い数字を真数とした対数の値は緑の数字であることが分かる。
つまり、対数ものさしＡとものさしＣを使うと、対数の計算ができる。
よって、選択肢の
⑤
の計算もできる。
一方、等間隔の目盛りがあるものさしが２本あれば、たし算と引き算もできる。
ものさしＣの目盛りは等間隔だけど、ものさしＣ同士を合わせるのはこの問題ではダメ。
なので、たし算や引き算はできない。
以上より、実行できる選択肢は
②，③，④，⑤
である。
解答ニ：２，３，４，５