大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠA 第2問 [1] 解説

(1) 問題を解く準備

最初に、情報を整理しておこう。

三角形$\mathrm{ABC}$は、
$\mathrm{AC}:\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:2:\sqrt{3}$
の直角三角形。

問題文より
$\mathrm{AB}=20$
なので、
$\mathrm{AC}=10$ $\mathrm{BC}=10\sqrt{3}$ である。

点$\mathrm{P}$は、$\mathrm{AC}$上を毎秒$1$の速さで移動するので、点$\mathrm{C}$に到着するのは、
点$\mathrm{A}$を出発した$10$秒後 である。

点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$同時に出発して同時に到着するので、
点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{A}$に到着するのに$10$秒 点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{B}$に到着するのに$10$秒 かかる。

ここまで整理できたところで、問題を解く。

(1) (i)

$2$秒後の各点の位置は、図Aのようになる。
図中、そのまま書いてある数字は長さ、丸で囲んでいる数字は比率を表している。

図A
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[1] 解説図A

点$\mathrm{P}$は、毎秒$1$で$2$秒ぶん移動しているから、
$\mathrm{AP} = 2$
点$\mathrm{Q}$は、$10$秒かかる道のりの$2$秒ぶん移動しているから、
$\mathrm{BA} : \mathrm{BQ} = 10:2$
より
$\mathrm{AQ} : \mathrm{BQ} = 8:2$
である。


まず、$\mathrm{PQ}$(図Aの青い線)から。

図Aの青い三角形に余弦定理を使うと、
$\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}-2\cdot \mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}\cos\angle \mathrm{BAC}$式A
とかける。

いま、
$\mathrm{AP}=2$ $\displaystyle \mathrm{AQ}=20\times\frac{8}{8+2}$
      $=16$
$\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$ である。

よって、式Aは
$\displaystyle \mathrm{PQ}^{2}=2^{2}+16^{2}-2\cdot 2\cdot 16\cdot\frac{1}{2}$
となる。

これを計算して、
$\mathrm{PQ}^{2}=2^{2}(1+8^{2}-8)$
$\mathrm{PQ}^{2}$$=2^{2}\cdot 57$
$\mathrm{PQ}=2\sqrt{57}$
である。

解答ア:2, イ:5, ウ:7


また、△$\mathrm{APQ}$(図Aの青い三角形)の面積$S$は、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}\sin\angle \mathrm{BAC}$
とかける。

これにそれぞれの値を代入して、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
より
$S=8\sqrt{3}$
である。

解答エ:8, オ:3

(1) (ii)

$t$秒後の各点の位置を考えると、図Bができる。
図中、そのまま書いてある数字は長さ、六角形で囲んでいる数字は比率を表している。

図B
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[1] 解説図B

点$\mathrm{P}$は、毎秒$1$で$t$秒ぶん移動しているから、
$\mathrm{AP} = t$
点$\mathrm{R}$は、$10$秒かかる道のりの$t$秒ぶん移動しているから、
$\mathrm{CB} : \mathrm{CR} = 10:t$
である。


$\mathrm{PR}$(図Bの紫の線)の長さは、図Bの紫の三角形が直角三角形であることを使って求める。

三平方の定理より、
$\mathrm{PR}^{2}=\mathrm{CP}^{2}+\mathrm{CR}^{2}$式B
とかける。

いま、
$\displaystyle \mathrm{CP}=10-t$ $\displaystyle \mathrm{CR}=\frac{t}{10}\times \mathrm{BC}$
      $=t\sqrt{3}$
である。

よって、式Bは
$\mathrm{PR}^{2}=(10-t)^{2}+(t\sqrt{3})^{2}$
より
$\mathrm{PR}^{2}=100-20t+t^{2}+3t^{2}$
       $=4t^{2}-20t+100$式B'
と表せる。

式B'を平方完成すると、
$\mathrm{PR}^{2}=4(t^{2}-5t)+100$
途中式        $=4\left(t^{2}-2\cdot\frac{5}{2}t+\frac{5^{2}}{2^{2}}-\frac{5^{2}}{2^{2}}\right)+100$
       $=4\displaystyle \left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}-4\cdot\frac{5^{2}}{2^{2}}+100$
       $=4\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}+75$式B''
となる。


$t$の定義域は
$0\leqq t\leqq 10$
なので、横軸を$t$,縦軸を$\mathrm{PR}^{2}$として式B''のグラフをかくと、図Cができる。

図C
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[1] 解説図C

例えば$\mathrm{PR}=15$は$\mathrm{PR}^{2}=15^{2}$なので、図Cの青い線。
この青い線と式B''のグラフの共有点は、図Cの青い点ひとつだけなので、$\mathrm{PR}=15$になるのは1回だけだ。

同様に考ると、$\mathrm{PR}^{2}$が

図Cの緑の部分に入る場合
つまり $75 \lt \mathrm{PR}^{2}\leqq 100$ の場合、
$\mathrm{PR}$の長さとして二回とり得る

オレンジの部分に入る場合
つまり $\mathrm{PR}^{2}=75$,$100 \lt \mathrm{PR}^{2}\leqq 300$ の場合、
$\mathrm{PR}$の長さとして一回だけとり得る

色のついていない部分に入る場合
つまり $\mathrm{PR}^{2} \lt 75$,$300 \lt \mathrm{PR}^{2}$ の場合、
$\mathrm{PR}$の長さとしてとり得ない

ことが分かる。


ここまで分かったところで、選択肢をひとつずつ確認しよう。

$(5\sqrt{2})^{2}=50$
なので、図Cの色のついていない部分に入る。
よって、$\mathrm{PR}=5\sqrt{2}$ になることはない。

$(5\sqrt{3})^{2}=75$
なので、図Cのオレンジの部分に入る。
よって、$\mathrm{PR}=5\sqrt{3}$ になるのは一回だけ。

$(4\sqrt{5})^{2}=80$
なので、図Cの緑の部分に入る。
よって、$\mathrm{PR}=4\sqrt{5}$ になるのは二回。

$10^{2}=100$
なので、図Cの緑の部分に入る。
よって、$\mathrm{PR}=10$ になるのは二回。

$(10\sqrt{3})^{2}=300$
なので、図Cのオレンジの部分に入る。
よって、$\mathrm{PR}=10\sqrt{3}$ になるのは一回だけ。

以上より、$\mathrm{PR}$の値として、
とり得ない値は、⓪ 一回だけとり得る値は、①,④ 二回だけとり得る値は、②,③ である。

解答カ:0, キ:1,4, ク:2,3 (順不同)

(1) (iii)

次は、面積の問題だ。
$t$秒後の$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$を図にすると、図Dのようになる。
図中、そのまま書いてある数字は長さ、丸や六角形で囲んでいる数字は比率を表している。

図D
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[1] 解説図D

点$\mathrm{Q}$は、$10$秒かかる道のりの$t$秒ぶん移動しているから、
$\mathrm{BA} : \mathrm{BQ} = 10:t$
より
$\mathrm{AQ} : \mathrm{BQ} = 10-t:t$
同様に、
$\mathrm{BR} : \mathrm{CR} = 10-t:t$
である。


三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$T$とする。

図Dを見ると、青い三角形,緑の三角形,紫の三角形はすべて、三角形$\mathrm{ABC}$の
底辺は$\displaystyle \frac{10-t}{10}$倍 高さは$\displaystyle \frac{t}{10}$倍 になっている。

なので、
$S_{1}=S_{1}=S_{2}=T\displaystyle \times\frac{10-t}{10}\times\frac{t}{10}$
である。

以上より、時刻$t$にかかわらず、常に
$S_{1}=S_{1}=S_{2}$
となる。

以上、考え方を説明した。
(う)の正解例はここでは省略する。
公開されている正解例はリンクを参照してほしい。

→ 数学入試問題データベースサイト
       大学入試数学問題集成さんで
          正解例を見る。

別解

三角形の面積の公式
$S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$
を使う方法だと、次のようになる。


三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$T$とする。

三角形の面積の公式より、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}\cdot\sin\angle \mathrm{BAC}$
とかける。

この式の$\mathrm{AP}$,$\mathrm{AQ}$は、
$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{t}{10}\mathrm{AC}$ $\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{10-t}{10}\mathrm{AB}$ である。

よって、$S_{1}$は
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{t}{10}\mathrm{AC}\cdot\frac{10-t}{10}\mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{BAC}$
$ S_{1}$$\displaystyle =\frac{t}{10}\cdot\frac{10-t}{10}\times$ $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{BAC}$
となる。

この式の赤い部分は三角形$\mathrm{ABC}$の面積$T$なので、
$S_{1}=\displaystyle \frac{t}{10}\cdot\frac{10-t}{10}\cdot T$
と表せる。

同様に、
$S_{2}=\displaystyle \frac{t}{10}\cdot\frac{10-t}{10}\cdot T$
$S_{3}=\displaystyle \frac{t}{10}\cdot\frac{10-t}{10}\cdot T$
となるので、$t$の値にかかわらず
$S_{1}=S_{2}=S_{3}$
である。

(2)

点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が出発してからの時間を$t$とする。
また、△$\mathrm{ABC}$の面積を$T$とする。

これまで通り、図E中のそのまま書いてある数字は長さ、丸や六角形で囲んでいる数字は比率を表している。

図E
大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠA第2問[1] 解説図E

まず、図中の色のついた3つの三角形の面積を考えよう。

(1)の(iii)と同じように考えると、△$\mathrm{ABC}$と比べて、3つの三角形はすべて
底辺は$\displaystyle \frac{12-t}{12}$倍 高さは$\displaystyle \frac{t}{12}$倍 である。

なので、3つの三角形それぞれの面積は、
$T\displaystyle \times\frac{12-t}{12}\times\frac{t}{12}=\frac{T}{12^{2}}t(12-t)$式C
とかける。

なので、△$\mathrm{PQR}$の面積は、△$\mathrm{ABC}$の面積から式Cの$3$倍を引いて、
$T-3\displaystyle \times\frac{T}{12^{2}}t(12-t)$式D
と表せる。

いま、△$\mathrm{ABC}$の面積$T$は、
$T=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12$
$T$$=30$
なので、式Dは
$30-3\displaystyle \times\frac{30}{12^{2}}t(12-t)$
となる。


これが$12$になればよいので、方程式
$30-3\displaystyle \times\frac{30}{12^{2}}t(12-t)=12$
ができる。
これを解く。

分数部分を約分して、
$18-\displaystyle \frac{5}{8}t(12-t)=0$
両辺を$8$倍して、
$18\cdot 8-5t(12-t)=0$
$5t^{2}-5\cdot 12t+18\cdot 8=0$
と変形できる。

解の公式より、このときの$t$は
$t=\displaystyle \frac{5\cdot 12\pm\sqrt{(5\cdot 12)^{2}-4\cdot 5\cdot 18\cdot 8}}{2\cdot 5}$
途中式 $t$$\displaystyle =\frac{5\cdot 12\pm\sqrt{4^{2}\cdot 3^{2}(5^{2}-5\cdot 2\cdot 2)}}{2\cdot 5}$
$t$$\displaystyle =\frac{5\cdot 12\pm 4\cdot 3\sqrt{5(5-2\cdot 2)}}{2\cdot 5}$
$t$$\displaystyle =\frac{5\cdot 6\pm 2\cdot 3\sqrt{5}}{5}$
$t$$\displaystyle =\frac{30\pm 6\sqrt{5}}{5}$式E
となる。

解答ケ:3, コ:0, サ:6, シ:5, ス:5

補足

この問題では、問題文中のマスから$\displaystyle \frac{30+6\sqrt{5}}{5}$も$\displaystyle \frac{30-6\sqrt{5}}{5}$も答えだと分かるので、これ以上の計算をする必要はない。
けれど、記述問題のときには、以下のように、式Eが$t$の定義域に入っているかどうかの確認が必要になる。


いま、$t$の定義域は
$0\leqq t\leqq 12$式F
である。

式Eは
$t=\displaystyle \frac{30}{5}\pm\frac{6\sqrt{5}}{5}$
$t$$\displaystyle =6\pm\frac{6}{\sqrt{5}}$式E'
とかける。

ここで、
$2 \lt \sqrt{5} \lt 3$
なので、
$\displaystyle \frac{6}{2} \gt \frac{6}{\sqrt{5}} \gt \frac{6}{3}$
より
$2 \lt \displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 3$
とかける。

複合が$-$のとき、

$2 \lt \displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 3$
より、
$-3 \lt \displaystyle -\frac{6}{\sqrt{5}} \lt -2$
なので、式E'は
$6-3 \lt 6-\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 6-2$
とかけるから、
$3 \lt 6-\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 4$
である。

これは、式Fの範囲に含まれる。

複合が$+$のとき、

$2 \lt \displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 3$
より、式E'は
$6+2 \lt 6-\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 6+3$
なので
$8 \lt 6-\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}} \lt 9$
である。

これは、式Fの範囲に含まれる。

以上より、求める$t$(秒後)は、
$\displaystyle \frac{30\pm 6\sqrt{5}}{5}$秒後
である。