大学入学共通テスト 2018年(平成30年) 試行調査 数学ⅠＡ 第１問 [3] 解説
解説
傾斜が$33^{\circ}$のとき、階段は図Ａのようになる。
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[3] 解説図Ａ](_image/1A_1_3_01.svg)
まず、踏面を$x$として、蹴上げを$x$と$33^{\circ}$の三角比で表そう。
図Ａの赤い三角形は直角三角形なので、
$\displaystyle \tan 33^{\circ}=\frac{\text{蹴上げ}}{\text{踏面}}$
$\displaystyle \tan 33^{\circ}$$\displaystyle =\frac{\text{蹴上げ}}{x}$
より
蹴上げ$=x\tan 33^{\circ}$
とかける。
この蹴上げが$18$cm以下なので、
$x\tan 33^{\circ}\leqq 18$
より、
$x\displaystyle \leqq\frac{18}{\tan 33^{\circ}}$式Ａ
である。
また、
$26\leqq x$
と定められているので、これと式Ａをあわせて、求める踏面$x$の範囲は
$26\displaystyle \leqq x\leqq\frac{18}{\tan 33^{\circ}}$式Ｂ
となる。
解答い：$26\displaystyle \leqq x\leqq\frac{18}{\tan 33^{\circ}}$
アドバイス
途中式もちゃんと書くような記述問題では、式Ｂをつくる前に、
$26 \lt \displaystyle \frac{18}{\tan 33^{\circ}}$
であることも示しておく必要がある。
問題文より、
蹴上げが$18$cm
踏面が$26$cm
のとき、傾斜は約$35^{\circ}$である。（図Ｂ）
![大学入学共通テスト2018年試行調査 数学ⅠＡ第１問[3] 解説図Ｂ](_image/1A_1_3_02.svg)
さっきと同じように図Ｂから関係式をつくると、
$\displaystyle \tan 35^{\circ}\doteqdot\frac{18}{26}$式Ｃ
より
$26\displaystyle \doteqdot\frac{18}{\tan 35^{\circ}}$
とかける。
ここで、
$\tan 35^{\circ} \gt \tan 33^{\circ}$
なので、
$\displaystyle \frac{18}{\tan 35^{\circ}} \lt \frac{18}{\tan 33^{\circ}}$
となるから、
$26 \lt \displaystyle \frac{18}{\tan 33^{\circ}}$
といえる。
式Ｃで概数にしているから、厳密に言うとこの説明では不十分だ。
けれど、大学入学共通テストレベルの問題では必要ないと思われるので、これ以上の解説はしないことにする。