手順１の通りに作図すると、図Ａのようになる。

図Ａの緑の直線が 円$\mathrm{O}$の接線であることを示したい。

復習

円$\mathrm{O}$と直線が円周上の点$\mathrm{E}$で接する $\Leftrightarrow$ 円の半径$\mathrm{OE}$が点$\mathrm{E}$を通る直線と垂直

なので、緑の直線が円$\mathrm{O}$の接線であることを証明するためには、
$\angle \mathrm{OEH}=90^{\circ}$
であることを示せばよい。

解答ア：９, イ：０

図Ｂのように、

$\angle \mathrm{OCB}=90^{\circ}$

詳しく

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ （円$\mathrm{O}$の半径）
なので、$\triangle \mathrm{OAB}$は二等辺三角形。
二等辺三角形の頂点から引いた中線は底辺の垂直二等分線なので、
$\angle \mathrm{OCB}=90^{\circ}$

$\angle \mathrm{OGH}=90^{\circ}$

詳しく

直線$\mathrm{GH}$は円$\mathrm{O}$の接線なので、
$\angle \mathrm{OGH}=90^{\circ}$

だから
$\angle \mathrm{OCH}+\angle \mathrm{OGH}=180^{\circ}$
となる。

よって、四角形$\mathrm{COGH}$（黄色い四角形）は円に内接するので、
４点$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{O}$（赤い点）は同一円周上にある。

解答ウ：３

この円を円$U$ とすると、円$U$ は$\triangle \mathrm{CGH}$ の外接円だ。

復習

円に内接する四角形の内角は、その対角の外角と等しい

復習より、
$\MURASAKIWA$（$\angle \mathrm{CHG}$）$=\MURASAKIMARU$（$\angle \mathrm{FOG}$）
である。

解答エ：４

また、

$\MURASAKIMARU$（$\angle \mathrm{FOG}$）$=\dfrac{1}{2}$青い角（$\angle \mathrm{DOG}$）

詳しく

$\mathrm{OD}=\mathrm{OG}$ （円$\mathrm{O}$の半径）
なので、$\triangle \mathrm{ODG}$は二等辺三角形。
二等辺三角形の頂角から対辺に下ろした垂線は頂角の二等分線なので、
$\angle \mathrm{FOG}=\angle \mathrm{FOD}$
より
$\angle \mathrm{FOG}=\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{DOG}$

直線$\mathrm{EG}$を引くと、
$\MIDORIMARU$（$\angle \mathrm{DEG}$）$=\dfrac{1}{2}$青い角（$\angle \mathrm{DOG}$）

詳しく

円周角 $=\cfrac{1}{2}$中心角 なので
$\angle \mathrm{DEG}=\dfrac{1}{2}\angle \mathrm{DOG}$

なので、
$\MURASAKIMARU$（$\angle \mathrm{FOG}$）$=\MIDORIMARU$（$\angle \mathrm{DEG}$）
である。

解答オ：３

これとエをあわせると、
$\MURASAKIWA$（$\angle \mathrm{CHG}$）$=\MIDORIMARU$（$\angle \mathrm{CEG}$）式Ａ
であることが分かる。

図Ｃにおいて、式Ａより
$\MURASAKIWA=\MIDORIMARU$
なので、円周角の定理の逆より、
４点$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$．$\mathrm{H}$，$\mathrm{E}$（赤い点）は同一の円（オレンジの円）の周上にある。

解答カ：２

この円は$\triangle \mathrm{CGH}$ の外接円なので、円$U$だ。
したがって、５点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$ は同一円周上にある。

このとき、同じ弧に対する円周角は等しいから、
図Ｄの青い角は等しい（$\angle \mathrm{OEH}=\angle \mathrm{OCH}$）

よって、
$\angle \mathrm{OEH}=90^{\circ}$ である。

以上で、直線$\mathrm{EH}$は円$\mathrm{O}$の接線であることが証明できた。

もう一度、作図だ。
手順２の通りに作図すると、図Ｅのようになる。

このとき、(1)と同様に考えると、図Ｅの黄色い四角形は円に内接する。

詳しく

$\angle \mathrm{OPT}+\angle \mathrm{OST}=180^{\circ}$
だから、四角形$\mathrm{POST}$は円に内接する。

なので、赤い４点は同一円周上にある。

この４点を通る円を円$V$とすると、円$V$は$\triangle \mathrm{PST}$の外接円にあたる。

さらに(1)と同様に考えると、図Ｅの

$\MURASAKIWA=\MURASAKIMARU$

詳しく

黄色い四角形は円に内接する。
円に内接する四角形の内角は その対角の外角と等しいので、
$\MURASAKIWA=\MURASAKIMARU$

$\MURASAKIMARU=\MIDORIMARU$

詳しく

$\triangle \mathrm{OQS}$は二等辺三角形で、二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は頂角の二等分線なので、
$\MURASAKIMARU=\dfrac{1}{2}$青い角
円周角$=\dfrac{1}{2}$中心角なので、
$\MIDORIMARU=\dfrac{1}{2}$青い角
だから
$\MURASAKIMARU=\MIDORIMARU$

なので、
$\MURASAKIWA=\MIDORIMARU$式Ｂ
であることが分かる。

解答キ：３

図Ｆにおいて、式Ｂより、黄色い四角形は円に内接するから、赤い４点は同一円周上にある。

詳しく

黄色い四角形において、
$\MURASAKIWA=\MIDORIMARU$
より、$\MURASAKIWA$は対角の外角と等しい。
したがって、赤い四角形は円に内接する。

この４点を通る円は$\triangle \mathrm{PST}$の外接円なので、円$V$だ。
なので、点$\mathrm{O}$もこの円周上にある。

このとき、同じ弧に対する円周角は等しいから、図Ｇの青い角は等しい。

よって、
$\angle \mathrm{ORT}=\angle \mathrm{OPT}=90^{\circ}$
である。

図がややこしくなってきたから整理しよう。
図Ｇに円$\mathrm{O}$の半径と$\mathrm{OT}$の値を書き込むと、図Ｈができる。

$\angle \mathrm{ORT}=90^{\circ}$
なので、$\mathrm{OT}$はオレンジの円の直径にあたる。
問われている半径は直径の$\dfrac{1}{2}$なので、
$\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$
だ。

解答ク：３, ケ：６, コ：２

さらに、$\mathrm{RT}$は、$\triangle \mathrm{ORT}$に三平方の定理を使って、

途中式

$\mathrm{RT}^{2}=\mathrm{OT}^{2}-\mathrm{OR}^{2}$
$\hspace{33px}=(3\sqrt{6})^{2}-\sqrt{5}^{2}$
$\hspace{33px}=54-5$
$\hspace{33px}=49$
より

$\mathrm{RT}=7$
である。

解答サ：７