確率変数$X$は正規分布$N(m,\sigma^{2})$、つまり
平均値が$m$ 分散が$\sigma^{2}$ の正規分布に従うので、$X$の確率分布図は図Ａのようになる。

最初に、重さが$m$ｇ以上、つまり平均値以上である確率を問われている。
これは、図Ａの緑の部分の面積にあたる。

図Ａのグラフは正規分布の確率分布図なので、
$X=m$に関して対称 横軸と曲線の間の面積は$1$ だ。

よって、緑の部分の面積は、$1$の半分の
$\dfrac{1}{2}$
であることが分かる。

解答イ：１, ウ：２

うっかりアをとばして先に確率を求めてしまった。

アが含まれる問題文の式は
$P(X\geqq m)=P\left(\textcolor{red}{\dfrac{X-m}{\sigma}}\geqq\fbox{ ア }\right)$式Ａ
だけど、この式の赤い部分は見覚えがある。
標準化の式だ。

ということで、標準化について復習しておこう。

復習

確率変数を
平均値が$0$ 標準偏差が$1$ になるように変換することを、標準化という。

もとの確率変数を$X$とし、$X$の
平均値を$m$ 標準偏差を$\sigma$ とすると、$X$を標準化した確率変数$W$は
$W=\dfrac{X-m}{\sigma}$式Ｂ
となる。

式Ａに戻ると、左辺の（）の中は
$X\geqq m$
つまり
$X\geqq X$の平均値 だから、右辺の（）の中は
$\dfrac{X-m}{\sigma}\geqq\dfrac{X-m}{\sigma}$の平均値 だと考えられる。

式Ｂより、$\dfrac{X-m}{\sigma}$は$X$を標準化したもの。
なので、復習より、その平均値は
$0$
である。

解答ア：０

標本平均の期待値（平均）と標準偏差の復習をすると、

復習

母平均$m$，母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を無作為に取り出すとき、標本平均$\overline{X}$の
期待値（平均）$E(\overline{X})=m$ 分散$V(\overline{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ 標準偏差$\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ である。

だった。

復習より、$\overline{X}$の
期待値（平均）$E(\overline{X})=m$ 標準偏差$\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ となる。

解答エ：４, オ：２

次は母平均の信頼区間だけど、これには公式があった。

公式

母標準偏差を$\sigma$，標本平均を$\overline{X}$，標本の大きさを$n$とすると、母平均$m$の信頼区間を求める式は
$\overline{X}-z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{X}+z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$式Ｃ

ただし、信頼区間が$c$％のとき、$z$は、図Ｂを標準正規分布の確率分布図として、図中の$z_{0}$の値。
特に、
信頼度$95$％のとき、$z=1.96$ 信頼度$99$％のとき、$z=2.56$ である。

今回は信頼度$90$％の信頼区間を求めるんだけど、問題文に、実際の作業には$90.1$％を使うよう指示がある。
なので、図Ｂにおいて、緑の部分が$90.1$％になるような$z_{0}$を求めることから始めよう。

図Ｂの$c$％を$90.1$％に書きかえると、図Ｃができる。

図Ｃの緑の部分が$90.1$％なので、オレンジの部分はその半分の
$\dfrac{90.1}{2}$％$=45.05$％
$\hspace{50px} =0.4505$
だ。

正規分布表を見ると、オレンジの部分の面積が$0.4505$となるのは、
$z_{0}=1.65$
のときであることが分かる。

解答カ：１, キ：６, ク：５

あとは、公式に代入だ。
式Ｃの
$z$に、カ.キクで求めた$1.65$を $\overline{X}$に、標本平均の$30.0$を $n$に、標本の大きさの$400$を $\sigma$に、問題文の指示通り標本標準偏差の$3.6$を それぞれ代入すると、求める信頼区間は
$30.0-1.65\cdot\dfrac{3.6}{\sqrt{400}}\leqq m\leqq 30.0+1.65\cdot\dfrac{3.6}{\sqrt{400}}$
と表せる。

これを計算すると

途中式

$30.0-1.65\cdot\dfrac{3.6}{20}\leqq m\leqq 30.0+1.65\cdot\dfrac{3.6}{20}$
$30.0-1.65\cdot 0.18\leqq m\leqq 30.0+1.65\cdot 0.18$
$30.0-0.297\leqq m\leqq 30.0+0.297$

$29.703\leqq m\leqq 30.297$
となるので、正解は、選択肢の
④
である。

解答ケ：４

アドバイス

これじゃ原理がゼンゼン分からないけど、原理通り解くと時間がかかるから、共通テスト本番では機械的に公式を使おう。
原理に関してはこのページを参照してほしい。

(1)の(i)で考えたように、ピーマンを無作為に１個取り出したとき、重さが$m$以上、つまり平均値以上である確率は
$\dfrac{1}{2}$
だった。

同様に、Ｓサイズ、つまり重さが平均値の$30$ｇ以下である確率も
$\dfrac{1}{2}$
である。

解答コ：１, サ：２

なので、ピーマンを無作為に$50$個取り出したときのＳサイズの個数は、
$50$回の試行中、$\dfrac{1}{2}$の確率の事象が起こった回数 と言いかえられる。

つまり反復試行なので、その確率は二項分布に従う。
ということで、二項分布の復習だ。

復習

確率$p$で事象$\mathrm{A}$が起こる試行を$n$回繰り返し、$\mathrm{A}$が起こった回数を$U_{0}$とすると、$U_{0}$の確率分布は二項分布$B(n,p)$である。

復習より、$U_{0}$は 二項分布
$B\left(50,\dfrac{1}{2}\right)$
に従う。

このとき、25袋作ることができるのは、Ｓサイズが25個取り出された場合。
これは、
$50$回の試行中、$\dfrac{1}{2}$の確率の事象がちょうど25回起こった場合 と言いかえられる。

反復試行の考え方でこの場合の確率を考えると、求める確率$p_{0}$は
$p_{0}={}_{50}\mathrm{C}_{25}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{25}\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^{50-25}$
とかける。

解答シ：２, ス：５

とても計算したくない式ができてしまったけど、ありがたいことに これを計算する必要はない。
結果は問題文中に載っていて、
$ p_{0}=0.1122\cdots$
くらいになり、このときに25袋作ることができる確率は
$0.11$
程度になるようだ。

ピーマンを$50+k$個取り出したとき、それに含まれるＳサイズの数を$U_{k}$とする。

いま問われているのは、25袋つくることができる場合。
そのためには、
Ｓサイズが$25$個以上※Ａ Ｌサイズが$25$個以上※Ｂ 取り出されないといけない。

Ｓサイズの個数$+$Ｌサイズの個数$=50+k$式Ｄ
なので、※ＢをＳサイズの個数で表すと、
Ｓサイズが$25+k$個以下 となる。

詳しく

式Ｄを変形すると
Ｌサイズの個数$=50+k-$Ｓサイズの個数
とかける。

※Ｂより、これは
$50+k-$Ｓサイズの個数$\geqq 25$
でなければならない。

これを変形すると
Ｓサイズの個数$\leqq 25+k$
となる。

よって、25袋作ることができるためには、Ｓサイズの個数、つまり$U_{k}$が
$25\leqq U_{k}\leqq 25+k$ であればよい。

ということで、$U_{k}$が
$25\leqq U_{k}\leqq 25+k$
となる確率を求める。

求める確率を$p_{k}$として式で表すと、
$p_{k}=P(25\leqq U_{k}\leqq 25+k)$
だ。

(i)と同様に考えると、$U_{k}$は
二項分布$B\left(50+k,\dfrac{1}{2}\right)$
に従う。
この確率分布図を描くと、図Ｄができる。

アドバイス

図Ｄはイメージをつかみやすくするために載せただけで、受験生の皆さんがこのグラフを描けるようになる必要はない。
実際、私も簡単には描けない。図ＤはPCに描かせた。
何となくでいいから、頭の中に似たようなイメージが描ければそれでいい。

いま考えている$p_{k}$は、図Ｄの緑の部分の面積だ。
この面積を二項分布で求めるのは大変なので、正規分布で近似しよう。

復習

$n$が十分に大きいとき、二項分布$B(n,p)$は、正規分布$N(np,np(1-p))$で近似できる。

$50+k$は十分に大きいので、復習より、$U_{k}$は近似的に 正規分布
$N\left((50+k)\cdot\dfrac{1}{2},(50+k)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\right)$
$\hspace{100px} =N\left(\dfrac{50+k}{2},\dfrac{50+k}{4}\right)$
に従う。

解答セ：３, ソ：７

この正規分布を図Ｄに重ねると、図Ｅができる。
図Ｄの緑の部分の面積の代わりに、図Ｅの赤い部分の面積を求めるわけだ。
（ここで「あれ？」って思った人は、解説末尾の余談を見てください。）

面積を求めるのには、正規分布表を使う。
けれど、
図Ｅの正規分布は 平均値が$\dfrac{50+k}{2}$ 分散が$\dfrac{50+k}{4}$ 正規分布表に載っている標準正規分布は 平均値が$0$ 分散が$1$ だから、そのままでは比較できない。
なので、図Ｅの正規分布を標準化して、平均値$0$，分散$1$にそろえよう。

$U_{k}$を標準化した確率変数を$Y$とすると、(1)(i)の復習の式Ｂより、$U_{k}$から$Y$を計算する式は
$Y=\dfrac{U_{k}-\dfrac{50+k}{2}}{\sqrt{\dfrac{50+k}{4}}}$
右辺の分母分子に$2$をかけて、
$Y=\dfrac{2U_{k}-50-k}{\sqrt{50+k}}$
とかける。

これを使って図Ｅの赤い部分の両端の$25$と$25+k$を標準化すると、
$25$は
$\dfrac{2\times 25-50-k}{\sqrt{50+k}}=-\dfrac{k}{\sqrt{50+k}}$ $25+k$は
$\dfrac{2(25+k)-50-k}{\sqrt{50+k}}=\dfrac{k}{\sqrt{50+k}}$ となる。

解答タ：０

よって、図Ｅの正規分布を標準化すると、図Ｆになる。

いま問われているのは、
$p_{k}\geqq 0.95$
となる場合。

つまり、図Ｆの紫の部分の面積が
紫$\geqq\dfrac{0.95}{2}$
より
紫$\geqq 0.475$
となる場合だ。

正規分布表を見ると、これは
$\dfrac{k}{\sqrt{50+k}}\geqq 1.96$式Ｅ
である場合だと分かる。

式Ｅが成り立つ$k$の範囲を求めるんだけど、$k$は自然数なので、細かい値は必要ない。

なので、式Ｅの右辺を$2$にして
$\dfrac{k}{\sqrt{50+k}}\geqq 2$式Ｅ'
としても、答えは変わらないと考えられる。

この式Ｅ'を解く。

ここで
$ k=\alpha$ $\sqrt{50+k}=\beta$ とおくと、式Ｅ'は
$\dfrac{\alpha}{\beta}\geqq 2$①
とかける。

いま、$\alpha \gt 0$，$\beta \gt 0$なので、①の両辺を２乗すると
$\dfrac{\alpha^{2}}{\beta^{2}}\geqq 4$
より
$\alpha^{2}\geqq 4\beta^{2}$
と変形できる。

この$\alpha$，$\beta$をもとに戻すと
$k^{2}\geqq 4\sqrt{50+k}^{2}$
$k^{2}\geqq 4\cdot 50+4k$
$k^{2}-4k-4\cdot 50\geqq 0$
と表せる。

この解は、解の公式より
$k\leqq\dfrac{4-\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot(-4\cdot 50)}}{2\cdot 1}$，
   $\dfrac{4+\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot(-4\cdot 50)}}{2\cdot 1}\leqq k$
だけど、$k$は自然数なので、
$k\leqq\dfrac{4-\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot(-4\cdot 50)}}{2\cdot 1}$
は不適。 $\dfrac{4+\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot(-4\cdot 50)}}{2\cdot 1}\leqq k$式Ｆ
だけ考える。

式Ｆを整理して、
$\dfrac{4+\sqrt{4^{2}(1+50)}}{2}\leqq k$
$\dfrac{4+4\sqrt{51}}{2}\leqq k$
$2(1+\sqrt{51})\leqq k$

問題文より、$\sqrt{51}=7.14$ なので、これは
$2(1+7.14)\leqq k$
$2\times 8.14\leqq k$
$16.28\leqq k$
となる。

したがって、これを満たす最小の自然数$k_{0}$は
$k_{0}=17$
である。

解答チ：１, ツ：７

以上より、
$50+17=67$
個のピーマンを取り出しておけば、$0.95$以上の確率で25袋作ることができることが分かる。