$k$が正の定数のときの
$f(x)=x^{2}(k-x)$式Ａ
を考える。

まず、
$y=f(x)$
のグラフの形を考えよう。
この問題はグラフなしでも解けるけど、可能なときはグラフを描いて、目で見ながら考えることをおすすめする。

式Ａより、$f(x)=0$になるのは
$x=0$，$k$式Ｂ
のときなので、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点は
$(0,0)$，$(k,0)$
だ。

解答ア：４

この２つの共有点について、式Ｂの$x=0$は重解，$x=k$は重解じゃないので
$(0,0)$は接点，$(k,0)$は交点 であることが分かる。

また、式Ａを展開すると
$f(x)=-x^{3}+kx^{2}$式Ａ'
なので、$x^{3}$の係数は負である。

復習

３次関数のグラフは、

$x^{3}$の係数が正のとき、全体として右上がりの、右図のような形に、

$x^{3}$の係数が負のとき、全体として右下がりの、右図のような形になる。

以上より、$y=f(x)$のグラフは、
原点で$x$軸に接する
$(k,0)$で$x$軸と交わる
全体として右下がり の３次関数なので、図Ａのようになる。

さらに、式Ａ'を微分すると、$f(x)$の導関数$f'(x)$は
$f'(x)=-3x^{2}+2kx$
である。

解答イ：－, ウ：３, エ：２

これはさらに
$f'(x) =(-3x+2k)x$
と変形できるから、
$f'(x)=0$
となる$x$は
$x=0$，$\dfrac{2}{3}k$
だ。

よって、
図Ａの赤い点の$x$座標は
$\dfrac{2}{3}k$ $y$座標は、これを式Ａに代入して、
$\left(\dfrac{2}{3}k\right)^{2}\left(k-\dfrac{2}{3}k\right)=\left( \dfrac{2}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{3}{3}-\dfrac{2}{3}\right)k^{3}$

途中式

$\hspace{134px}=\dfrac{2^{2}}{3^{2}}\cdot\dfrac{3-2}{3}k^{3}$
$\hspace{134px}=\dfrac{2^{2}}{3^{3}}k^{3}$

$\hspace{134px}=\dfrac{4}{27}k^{3}$
である。

以上より、関数$f(x)$は
$x=0$のとき 極小値$0$ $x=\dfrac{2}{3}k$のとき 極大値$\dfrac{4}{27}k^{3}$ をとることが分かる。

解答オ：０, カ：０, キ：３, ク：９

また、図Ａより、$0 \lt x \lt k$において$f(x)$が最大になるのは、赤い点の
$x=\dfrac{2}{3}k$
のときなので、最大値は極大値と同じ
$\dfrac{4}{27}k^{3}$
だ。

問題文中の図を真横から見ると、図Ｂのような状態だ。

図Ｂで、円柱の高さを$h$とすると、緑の三角形の高さは
$15-h$
とかける。

赤い三角形と緑の三角形は相似なので、
$9:15=x:15-h$
より

途中式

$9(15-h)=15x$
$3(15-h)=5x$
$15-h=\dfrac{5}{3}x$

$h=15-\dfrac{5}{3}x$
となる。

よって、円柱の体積を$y$とすると、
$y=$底面積$\times$高さ

途中式

$\phantom{ y } =\pi x^{2}\times\left(15-\dfrac{5}{3}x\right)$
$\phantom{ y } =\pi x^{2}\times\left(\dfrac{15\cdot 3}{3}-\dfrac{5}{3}x\right)$

$\phantom{ y } =\dfrac{5}{3}\pi x^{2}(9-x)\qquad (0 \lt x \lt 9)$式Ｃ
と表せる。

解答ケ：５, コ：３, サ：９

ここで、(1)での作業を振り返ってみると、
$f(x)=x^{2}(k-x)$
の$0 \lt x \lt k$における最大値は
$x=\dfrac{2}{3}k$のとき$\dfrac{4}{27}k^{3}$
だった。

このことから、
$y=x^{2}(9-x)$式Ｄ
の$0 \lt x \lt 9$における最大値は
$x=\dfrac{2}{3}\cdot 9$
$\phantom{ x } =6$式Ｅ
のとき
$\dfrac{4}{27}\cdot 9^{3}=4\cdot 9\cdot 3$式Ｆ
であることが分かる。

また、式Ｄのグラフを$y$軸方向に$\dfrac{5}{3}\pi$拡大すると、式Ｃのグラフができる。（図Ｃ）

以上より、式Cの$y$、つまり円柱の体積$V$が

である。