$(x-10)^{2}+(y-5)^{2}=25$
$\phantom{ (x-10)^{2}+(y-5)^{2} }=5^{2}$式Ａ

は、 中心$(10,5)$，半径$5$の円の式 である。

解答ア：１, イ：０, ウ：５, エ：５

問題文にしたがって、
$\left\{\begin{array}{l} \text{点}\mathrm{P}\text{の座標を}(s,t)\\ \text{点}\mathrm{Q}\text{の座標を}(x,y) \end{array}\right.$
とおく。

アドバイス

点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めるので、点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とおく。
このように、軌跡を求める点を必ず$(x,y)$とする。
ほかの点、例えばこの問題であれば点$\mathrm{P}$を$(x,y)$としたりすると、あとで大混乱する。

ここで、

点$\mathrm{P}$は$C_{1}$上にあるので、式Ａに$(s, t)$を代入して
$(s-10)^{2}+(t-5)^{2}=5^{2}$式Ｃ
とかける。

以上より、式Ｃに式Ｂ'を代入すると、$x$と$y$の式
$\left(\dfrac{5}{2}x-10\right)^{2}+\left(\dfrac{5}{2}y-5\right)^{2}=5^{2}$
ができる。

この式の両辺に$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}$をかけると、

途中式

$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{2}x-10\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{2}y-5\right)^{2}$
$\hspace{150px}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\cdot 5^{2}$
$\left(\cancel{\dfrac{2}{5}}\cdot\cancel{\dfrac{5}{2}}x-\dfrac{2}{\cancel{5}}\cdot \cancelto{2}{10}\right)^{2}+\left(\cancel{\dfrac{2}{5}}\cdot\cancel{\dfrac{5}{2}}y-\dfrac{2}{\cancel{5}}\cdot \cancel{5}\right)^{2}$
$\hspace{150px}=\dfrac{2^{2}}{\cancel{5^{2}}}\cdot \cancel{5^{2}}$

$(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}$①
となる。

解答ケ：４, コ：２, サ：２

①式の円を$C_{2}$とすると、点$\mathrm{Q}$は$C_{2}$上にある。
また、$C_{2}$上のすべての点は条件を満たす。
したがって、点$\mathrm{Q}$の軌跡は$C_{2}$である。

(1)の作業を振り返ってみると、
線分$\mathrm{OP}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点 半径が、円$C_{1}$の半径の$ \dfrac{2}{2+3}$倍 である円
だった。

このことから、
線分$\mathrm{OP}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{R}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点 半径が、円$C_{1}$の半径の$ \dfrac{m}{m+n}$倍 である円
だと予想できる。

解答ス：２, セ：４

余談

これは予想だから本当は証明しないといけないけど、問題の流れと関係がないので ここでは省略する。

次は、三角形の重心の軌跡だ。

まず、三角形の重心について復習すると、

復習

図のように、三角形の３本の中線は１点で交わる。この点を三角形の重心という。
重心は各中線をそれぞれ$1:2$に内分する。

だった。
これを頭において、問題を解く。

問題３を図にすると、図Ｂができる。

復習より、重心$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{MP}$を$1:2$に内分する。

解答ソ：０

円$C_{3}$の中心を点$\mathrm{C}$とすると、(2)の考え方から、
線分$\mathrm{MP}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{G}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{MC}$を$1:2$に内分する点 半径が、円$C_{1}$の半径の$ \dfrac{1}{1+2}$倍 である円
だと予想できる。

ここで、
点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{DE}$の中点なので、座標は
$\dfrac{(1,6)+(3,2)}{2}=(2,4)$ 円$C_{3}$の式から、円$C_{3}$の
中心$\mathrm{C}$は $(5,7)$ 半径は $3$ だ。

よって、点$\mathrm{G}$の軌跡は、

の円と考えられる。