$y=f(x)$の式
$y=(x-2)(x-8)+p$
は
$y-p=(x-2)(x-8)$
と変形できるから、放物線
$y=(x-2)(x-8)$式Ａ
を$y$軸方向に$p$平行移動したもの。

式Ａの放物線は、$x$軸と
$x=2$，$8$
で交わるので、頂点の$x$座標は
$\dfrac{2+8}{2}=5$
である。

よって、頂点の$y$座標は、式Ａに$x=5$を代入した
$(5-2)(5-8)=-9$
となるから、式Ａの放物線の頂点は
$(5,-9)$式Ｂ
だ。

$y=f(x)$の頂点は、式Ａの放物線の頂点を$y$軸方向に$p$平行移動したものなので、式Ｂより
$(5,-9+p)$
となる。

解答ア：５, イ：－, ウ：９

$f(x)$の$x^{2}$の係数は$1$で正だから、２次関数$y=f(x)$のグラフは下に凸だ。
なので、頂点の$y$座標が
正のとき、$x$軸と共有点をもたない $0$のとき、頂点で$x$軸と接する 負のとき、$x$軸と異なる２点で交わる ことになる。

イウより、頂点の$y$座標は$-9+p$だから、

ことが分かる。

$y=f(x)$のグラフは、
$x^{2}$の係数が$1$ 頂点が$(5,-9+p)$ であることが分かっている。

なので、これを$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$5$平行移動した$y=g(x)$は、
$x^{2}$の係数が$1$ 頂点が$(5-3,-9+p+5)=(2,-4+p)$ になる。

よって、$g(x)$の式は
$g(x)=(x-2)^{2}-4+p$
より
$g(x)=x^{2}-4x+4-4+p$
$\phantom{ g(x) } =x^{2}-4x+p$
とかける。

解答カ：４

別解

$f(x)$の式をそのまま平行移動すると、次のようになる。

$y=(x-2)(x-8)+p$
の$x$に$x+3$，$y$に$y-5$を代入すると、
$y-5=\{(x+3)-2\}\{(x+3)-8\}+p$
とかける。

これを計算すると
$$ \begin{align} y&=(x+1)(x-5)+5+p\\ &=x^{2}-4x-5+5+p\\ &=x^{2}-4x+p \end{align} $$ なので、
$g(x)=x^{2}-4x+p$
である。

解答カ：４

最後に
$y=\left|f(x)-g(x)\right|$式Ｃ
を考える。

式Ｃに$f(x)$と$g(x)$の式を代入すると、
$y=\left|(x-2)(x-8)+p-(x^{2}-4x+p)\right|$
$\phantom{ y } =\left|x^{2}-10x+16+p-x^{2}+4x-p\right|$
$\phantom{ y } =\left|-6x+16\right|$
と表せる。

このグラフは
$y=-6x+16$
のグラフの$x$軸より下の部分を折り返したものだから、図Ａのオレンジの折れ線である。

折れ曲がる点の$x$座標は
$-6x+16=0$
より $$ \begin{align} x&=\dfrac{16}{6}\\ &=\dfrac{8}{3} \end{align} $$ だ。

図Ａより、式Ｃのグラフは
$x=\dfrac{8}{3}$で最小値$0$をとる ことが分かる。

解答キ：８, ク：３