指数と対数の関係を復習しておくと、

復習

$0 \lt a$，$a \neq 1$，$0 \lt b$のとき、
$\log_{a}b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b$

だった。

復習より、
$\log_{a}b=x$
は
$a^{x}=b$
と書きかえられる。

解答ツ：２

$\log_{5}25=x$
とすると、(1)より、
$5^{x}=25$
と書きかえられる。

これを変形すると
$5^{x}=5^{2}$
なので、
$x=2$
である。

解答テ：２

同様に
$\log_{9}27=x$
は

途中式

$9^{x}=27$
より
$\left(3^{2}\right)^{x}=3^{3}$
$3^{2x}=3^{3}$
$2x=3$

$x=\dfrac{3}{2}$
となる。

解答ト：３, ナ：２

$\log_{2}3$を有理数と仮定すると、$p$，$q$を自然数として
$\log_{2}3=\dfrac{p}{q}$式Ａ
とかける。

(1)より、式Ａは
$2^{\frac{p}{q}}=3$
と表せるけど、これは解答群にはない。
なので、もうちょっと変形しよう。

この式の両辺を$q$乗すると、
$\left(2^{\frac{p}{q}}\right)^{q}=3^{q}$
$2^{\frac{p}{q}\cdot q}=3^{q}$
$2^{p}=3^{q}$式Ａ'
となり、解答群にある形になった。

解答ニ：５

$p$，$q$は自然数だから、
$2$は偶数。偶数同士のかけ算は偶数なので、$2^{p}$は偶数 $3$は奇数。奇数同士のかけ算は奇数なので、$3^{q}$は奇数 より、
偶数$\neq$奇数
となって、式Ａ'は成り立たない。
つまり、式Ａは成り立たないから、$\log_{2}3$は無理数である。

復習

$\log_{a}a=1$

なので、解答群の⓪～④は不適。
答えは、残りの⑤だ。

解答ヌ：５

で終わってしまうと面白くないし、問題文中の「(ii)と同様に考えると」にも従ってない。
なので、違う考え方も紹介しておく。

(ii)の作業を整理すると
$\log_{2}3$が有理数なら、
$p$，$q$を自然数として$2^{p}=3^{q}$とかける。 $2$と$3$の一方は偶数，もう一方は奇数なので、
$2^{p}\neq 3^{q}$である。 よって、$\log_{2}3$は無理数である。 だった。

$a$，$b$を２以上の自然数として、(ii)の作業の$\log_{2}3$を$\log_{a}b$に書きかえると、
$\log_{a}b$が有理数なら、
$p$，$q$を自然数として$a^{p}=b^{q}$とかける。 $a$と$b$の一方は偶数，もう一方は奇数なので、
$a^{p}\neq b^{q}$である。 よって、$\log_{a}b$は無理数である。 となる。

以上より、$a$と$b$の一方が偶数，もう一方が奇数のとき、$\log_{a}b$は必ず無理数となる。

解答ヌ：５