大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅠA 第5問 解説
(1)
△$\mathrm{AQD}$(図Aの緑の三角形)と直線$\mathrm{CS}$(紫の直線)にメネラウスの定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{QR}}{\mathrm{RD}}\cdot\dfrac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CQ}}=1$式A
とかける。
解答ア:0
いま、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{DS}:\mathrm{SA}=3:2\\
\mathrm{AC}:\mathrm{CQ}=8:3
\end{array}\right.$
だ。
よって、式Aは
$\dfrac{\mathrm{QR}}{\mathrm{RD}}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{8}{3}=1$
となるから、
$\dfrac{\mathrm{QR}}{\mathrm{RD}}\cdot 4=1$
$\dfrac{\mathrm{QR}}{\mathrm{RD}}=\dfrac{1}{4}$
より
$\mathrm{QR}:\mathrm{RD}=1:4$
である。
解答イ:1, ウ:4
同様に、△$\mathrm{AQD}$(緑の三角形)と直線$\mathrm{BT}$(オレンジの直線)にメネラウスの定理を使うと
$\dfrac{\mathrm{QB}}{\mathrm{BD}}\cdot\dfrac{\mathrm{DT}}{\mathrm{TA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PQ}}=1$式B
とかける。
いま、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{DT}:\mathrm{TA}=4:1\\
\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=2:3
\end{array}\right.$
だ。
よって、式Bは
$\dfrac{\mathrm{QB}}{\mathrm{BD}}\cdot\dfrac{4}{1}\cdot\dfrac{2}{3}=1$
となるから、
$\dfrac{\mathrm{QB}}{\mathrm{BD}}\cdot\dfrac{8}{3}=1$
$\dfrac{\mathrm{QB}}{\mathrm{BD}}=\dfrac{3}{8}$
より
$\mathrm{QB}:\mathrm{BD}=3:8$
である。
解答エ:3, オ:8
以上より、4点$\mathrm{B}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{D}$の位置関係は図Bのようになっている。
図Bより、
$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RD}=3:1:4$
であることが分かる。
(2)
5点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$が同一円周上にあって、$\mathrm{AC}=8$のとき、図形は図Cのような状態だ。
(i)
図Cの青い円と2本の紫の直線に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{AT}\cdot \mathrm{AS}=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}$式C
とかける。
いま、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{AS}=2\mathrm{AT}\\
\mathrm{AP}=2\\
\mathrm{AQ}=5
\end{array}\right.$
だ。
よって、式Cは
$\mathrm{AT}\cdot 2\mathrm{AT}=2\cdot 5$
となるから、
$\mathrm{AT}^{2}=5$
$\mathrm{AT}=\sqrt{5}$
である。
解答カ:5
したがって、
$\mathrm{AT}:\mathrm{TS}:\mathrm{SD}=1:1:3$
より、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{TS}=\sqrt{5}\\
\mathrm{SD}=3\sqrt{5}
\end{array}\right.$
であることが分かる。
同様に、緑の円と2本のオレンジの直線に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{DR}\cdot \mathrm{DQ}=\mathrm{DS}\cdot \mathrm{DT}$
とかけるから、
$\mathrm{DR}\cdot\dfrac{5}{4}\mathrm{DR}=3\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}$
なので、
$\mathrm{DR}^{2}=3\cdot 4^{2}$
$\mathrm{DR}=4\sqrt{3}$
である。
したがって、
$\mathrm{DR}:\mathrm{RQ}:\mathrm{QB}=4:1:3$
より、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{RQ}=\sqrt{3}\\
\mathrm{QB}=3\sqrt{3}
\end{array}\right.$
であることが分かる。
(ii)
これまでに分かったことを図Cに書き込むと、図Dができる。
点$\mathrm{D}$が、3点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る円(図Dの緑の円)のどこにあるかを調べる。
図Dを見ると明らかに外側にあるけど、図が正確とは限らないし。
問題文の流れに乗って考えよう。
図Dより、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{CQ}=(2+3)\cdot 3=15\\
\mathrm{BQ}\cdot \mathrm{DQ}=3\sqrt{3}\cdot(4\sqrt{3}+\sqrt{3})=45
\end{array}\right.$
なので、
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{CQ} \lt \mathrm{BQ}\cdot \mathrm{DQ}$①
である。
解答キ:4, ク:5, ケ:0
また、図Eのように、直線$\mathrm{BD}$(オレンジの直線)と緑の円との$\mathrm{B}$以外の交点を$\mathrm{X}$とすると、方べきの定理より
$\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{CQ}=\mathrm{BQ}\cdot \mathrm{XQ}$②
と表せる。
解答コ:1
①,②式より
$\mathrm{BQ}\cdot \mathrm{XQ} \lt \mathrm{BQ}\cdot \mathrm{DQ}$
なので、
$\mathrm{XQ} \lt \mathrm{DQ}$
であるといえる。
解答サ:0
したがって、点$\mathrm{X}$、つまり緑の円とオレンジの直線の交点は線分$\mathrm{QD}$上(点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{D}$をのぞく)にあるから、
緑の円は点$\mathrm{D}$よりも左でオレンジの直線と交わる
ことが分かる。
よって、 点$\mathrm{D}$は3点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る円の外部にある といえる。
解答シ:2
(iii)
さらに、問題文より
$\mathrm{CR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SE}=3$
だという。
これを求める必要はないけれど、せっかくなので簡単に説明しておく。
図Fにおいて、
緑の三角形と紫の直線にメネラウスの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RS}}\cdot\dfrac{\mathrm{SD}}{\mathrm{DA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}=1$
より
$\mathrm{CR}:\mathrm{RS}=1:1$
緑の三角形とオレンジの直線にメネラウスの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{CE}}{\mathrm{ES}}\cdot\dfrac{\mathrm{ST}}{\mathrm{TA}}\cdot\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}=1$
より
$\mathrm{CE}:\mathrm{SE}=3:1$
なので、
$\mathrm{CR}:\mathrm{RS}:\mathrm{SE}=1:1:1$
である。
図Fの青い円と2本の赤い直線に方べきの定理を使うと、
$\mathrm{CR}\cdot \mathrm{CS}=\mathrm{CQ}\cdot \mathrm{CP}$
より
$\mathrm{CR}\cdot 2\mathrm{CR}=3\cdot 6$
なので
$\mathrm{CR}=3$
である。
以上より
$\mathrm{CR}=\mathrm{RS}=\mathrm{SE}=3$
が求められる。
これを図Dに書き込むと、図Gができる。
点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が、3点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円(図Gの緑の円)のどこにあるかを調べる。
(ii)と同様の作業をしよう。
点$\mathrm{A}$について、
図Gより、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{CS}\cdot \mathrm{ES}=(3+3)\cdot 3=18\\
\mathrm{DS}\cdot \mathrm{AS}=3\sqrt{5}\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{5})=30
\end{array}\right.$
なので、
$\mathrm{CS}\cdot \mathrm{ES} \lt \mathrm{DS}\cdot \mathrm{AS}$
直線$\mathrm{AD}$(図Gの紫の直線)と緑の円の点$\mathrm{D}$以外の交点を$\mathrm{Y}$とすると、方べきの定理より
$\mathrm{CS}\cdot \mathrm{ES}=\mathrm{DS}\cdot \mathrm{YS}$
よって
$\mathrm{DS}\cdot \mathrm{YS} \lt \mathrm{DS}\cdot \mathrm{AS}$
なので、
$\mathrm{YS} \lt \mathrm{AS}$
だ。
したがって、
点$\mathrm{A}$は3点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円の外部にある
ことが分かる。
解答ス:2
点$\mathrm{B}$について、
図Gより、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{CR}\cdot \mathrm{ER}=3\cdot(3+3)=18\\
\mathrm{DR}\cdot \mathrm{BR}=4\sqrt{3}\cdot(3\sqrt{3}+\sqrt{3})=48
\end{array}\right.$
なので、
$\mathrm{CR}\cdot \mathrm{ER} \lt \mathrm{DR}\cdot \mathrm{BR}$
直線$\mathrm{BD}$(オレンジの直線)と緑の円の点$\mathrm{D}$以外の交点を$\mathrm{Z}$とすると、方べきの定理より
$\mathrm{CR}\cdot \mathrm{ER}=\mathrm{DR}\cdot \mathrm{ZR}$
よって
$\mathrm{DR}\cdot \mathrm{ZR} \lt \mathrm{DR}\cdot \mathrm{BR}$
なので、
$\mathrm{ZR} \lt \mathrm{BR}$
だ。
したがって、
点$\mathrm{B}$も3点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円の外部にある
ことが分かる。
解答セ:2