まず、箱の中が図Ａのような場合を考える。

２回の試行でのカードの出かたは表Ｂの通り。

表Ｂのマスは全部で４つあり、すべて同じ確率で起こる。
Ａ，Ｂがそろっているのは○の２マスある。

なので、Ａ，Ｂがそろう確率は、
$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
である。

解答：ア：１, イ：２

３回の試行でＡ，Ｂがそろうのは、取り出されるカードが
Ａが１回，Ｂが２回パターンＡ Ａが２回，Ｂが１回パターンＢ の２パターンある。

問題文中の表より、パターンＡの出かたは
$3$通り ある。

問題文中の表のＡとＢを入れかえるとパターンＢになり、これも
$3$通り だ。

なので、３回の試行でＡ，Ｂがそろう出かたは
$3+3=6$通り ある。

解答ウ：６

また、３回の試行でのカードの出かたは 全部で
$2^{3}$通り あるから、３回の試行でＡ，Ｂがそろう確率は
$\dfrac{6}{2^{3}}$
である。

４回の試行でのカードの出かたは 全部で
$2^{4}$通り ある。

４回の試行でＡ，Ｂがそろわない出かたは
Ａが４回 Ｂが４回 の
$2$通り だ。

なので、Ａ，Ｂがそろっている出かたは
$2^{4}-2=14$通り ある。

解答エ：１, オ：４

また、その確率は
$\dfrac{14}{2^{4}}=\dfrac{7}{8}$
である。

解答カ：７, キ：８

(2)では、箱の中が図Ｃのような場合を考える。

３回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろうのは、
Ａ，Ｂ，Ｃが１回ずつ取り出される 場合。

なので、出かたは
$3!=6$通り ある。

解答ク：６

また、３回の試行でのカードの出かたは 全部で
$3^{3}$通り あるから、３回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう確率は
$\dfrac{6}{3^{3}}$
である。

４回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう場合を考える。

これには
３回の試行でＡ，Ｂだけがそろっていて、
４回目にＣが出るパターンＣ ３回の試行でＡ，Ｃだけがそろっていて、
４回目にＢが出る ３回の試行でＢ，Ｃだけがそろっていて、
４回目にＡが出る の３パターンあるけど、場合の数は全部同じだ。
なので、パターンＣだけ求めて３倍しよう。

３回の試行でＡ，Ｂだけがそろっている出かたは、ウより
$6$通り

４回目にＣが取り出されるのは
$1$通り

なので、パターンＣの出かたは
$6\times 1=6$通り ある。

これを$3$倍して、４回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう出かたは
$3\times 6$通り あることが分かる。

また、４回の試行でのカードの出かたは 全部で
$3^{4}$通り あるから、４回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう確率は
$\dfrac{3\times 6}{3^{4}}=\dfrac{2}{9}$
である。

解答ケ：２, コ：９

(ii)と同様に考える。

５回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろうのは、次の３パターン。
４回の試行でＡ，Ｂだけがそろっていて、
５回目にＣが出るパターンＤ ４回の試行でＡ，Ｃだけがそろっていて、
５回目にＢが出る ４回の試行でＢ，Ｃだけがそろっていて、
５回目にＡが出る

このうちのパターンＤだけ求めて、３倍する。

４回の試行でＡ，Ｂだけがそろっている出かたは、エオより
$14$通り

５回目にＣが取り出されるのは
$1$通り

なので、パターンＤの出かたは
$14\times 1=14$通り ある。

これを$3$倍して、５回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう出かたは
$14\times 3=42$通り あることになる。

解答サ：４, シ：２

また、５回の試行でのカードの出かたは 全部で
$3^{5}$通り あるから、５回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃがそろう確率は
$\dfrac{42}{3^{5}}$
である。

(3)で考えるのは、箱の中が図Ｄのような場合だ。

問題文の誘導通りに考えてゆこう。

以上より、５回目の試行までにＡ，Ｂ，Ｃだけがそろい、かつ６回目の試行で初めてＤが取り出される場合の数は
$54+54+42=150$通り式Ａ である。

したがって、６回目の試行で初めてＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがそろう確率は
$\dfrac{150\times 4}{4^{6}}=\dfrac{75}{512}$
である。

解答チ：７, ツ：５, テ：５, ト：１, ナ：２